（新课程）高中数学《2.3.1 双曲线及其标准方程》课件 新人教A版选修2-1.ppt

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1、了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题．2.3.1双曲线及其标准方程2.3双曲线【课标要求】【核心扫描】用定义法、待定系数法求双曲线的标准方程．(重点)与双曲线定义有关的应用问题．(难点)1．2．1．2．双曲线的定义把平面内与两个定点F1、F2的距离的___________等于常数(小于

2、F1F2

3、)的点的轨迹叫做双曲线，这_________叫做双曲线的焦点，_______________叫做双曲线的焦距．试一试：在双曲线的定义中，必须要求“常数小于

4、F1F2

5、”，那么“常数等于

6、F1F2

7、”，“常数大

8、于

9、F1F2

10、”或“常数为0”时，动点的轨迹是什么？自学导引1．差的绝对值两个定点两焦点间的距离提示(1)若“常数等于

11、F1F2

12、”时，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线F1A，F2B(包括端点)，如图所示．(2)若“常数大于

13、F1F2

14、”，此时动点轨迹不存在．(3)若“常数为0”，此时动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线．双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程__________(a>0，b>0)________(a>0，b>0)焦点坐标F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)a，b，c的关系c2＝_______2

15、．a2＋b2提示如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上，如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上．对于双曲线，a不一定大于b，因此，不能像椭圆那样比较分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．对双曲线定义的理解(1)把定常数记为2a，当2a<

16、F1F2

17、时，其轨迹是双曲线；当2a＝

18、F1F2

19、时，其轨迹是以F1、F2为端点的两条射线(包括端点)；当2a>

20、F1F2

21、时，其轨迹不存在．(2)距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．若F1、F2表示双曲线的左、右焦点，且点P满足

22、PF1

23、－

24、PF2

25、＝2a，则点P在右支上；若点P满足

26、PF2

27、－

28、PF1

29、＝2a，

30、则点P在左支上．名师点睛1．(4)理解双曲线的定义要紧扣“到两定点距离之差的绝对值为定值且小于两定点的距离．”双曲线的标准方程(1)只有当双曲线的两焦点F1、F2在坐标轴上，并且线段F1F2的垂直平分线也是坐标轴时得到的方程才是双曲线的标准方程．(2)标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2＝c2－a2，与椭圆中b2＝a2－c2相区别，且椭圆中a>b>0，而双曲线中a、b大小则不确定．2．(3)焦点F1、F2的位置，是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴

31、上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上．(4)用待定系数法求双曲线的标准方程时，如不能确定焦点的位置，可设双曲线的标准方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)或进行分类讨论．题型一求双曲线的标准方程【例1】规律方法求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程的形式，然后用待定系数法求出a，b的值．若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，通过解方程组即可确定m、n，避免了讨论，实为一种好方法．求适合下列条件的双曲线的

32、标准方程：(1)a＝3，c＝4，焦点在x轴上；(2)焦点为(0，－6)，(0，6)，经过点A(－5，6)．解(1)由题设知，a＝3，c＝4，由c2＝a2＋b2得，b2＝c2－a2＝42－32＝7.【变式1】(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；(2)若P是双曲线左支上的点，且

33、PF1

34、·

35、PF2

36、＝32，试求△F1PF2的面积．题型二双曲线定义的应用【例2】[思路探索](1)由双曲线的定义得

37、

38、MF1

39、－

40、MF2

41、

42、＝2a，则点M到另一焦点的距离易得；(2)结合已知条件及余弦定理即可求得面积．(1)由双曲线的定义得

43、

44、

45、MF1

46、－

47、MF2

48、

49、＝2a＝6，又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，假设点M到另一个焦点的距离等于x，则

50、16－x

51、＝6，解得x＝10或x＝22.故点M到另一个焦点的距离为6或22.(2)将

52、

53、PF2

54、－

55、PF1

56、

57、＝2a＝6，两边平方得

58、PF1

59、2＋

60、PF2

61、2－2

62、PF1

63、·

64、PF2

65、＝36，∴

66、PF1

67、2＋

68、PF2

69、2＝36＋2

70、PF1

71、·

72、PF2

73、＝36＋2×32＝100.在△F1PF2中，由余弦定理得规律方法(1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据

74、

75、

76、PF1

77、－

78、PF2

79、

80、＝2a求解，注意对所求结果进