《重积分的计算方法》PPT课件.ppt

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1、第二节二重积分的计算法计算二重积分的方法:二重积分累次积分(即两次定积分).1在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，故二重积分可写为D则面积元素为一、利用直角坐标系计算二重积分2(2)如果积分区域为：其中函数、在区间上连续.［X－型］3回忆：平行截面面积为已知的立体的体积立体体积此方法关键是求4计算截面面积(红色部分即A(x0))＊以D为底,以曲面为顶的曲顶柱体的体积.应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法.用二重积分的几何意义说明其计算法:是区间为曲边的曲边梯形.为底,曲线5A(x0)

2、先对y后对x的二次积分(累次积分)6(2)积分区域为：先对x后对y的二次积分也即其中函数在区间上连续.［Y－型］71.当D既不是X-型区域也不是Y-型区域时,将D分成几部分，使每部分是X-型区域或是Y-型区域.注意：2.当D既是X-型区域也是Y-型区域时,可以用两个公式进行计算.ⅠⅡⅢyx0yx0cdabD8特殊地即等于两个定积分的乘积.D为矩形域:则则a≤x≤b,c≤y≤d9二重积分是化为两次定积分来计算的，关键是确定积分限.定限要注意的问题：1.上限>下限.2.内层积分的上，下限应为外层积分变量的函数.3

3、.外层积分上，下限应为常数(后积先定限).4.二重积分的结果应为常数.10例计算其中D是由直线y=1,x=2及y=x所围成的闭区域.解法1：先y后x··xyx012y=xy=1x=211解法2：先x后yyx012y=xx=2··y12解例计算(1,1)13选取积分次序,不仅要看区域的特点,而且要看被积函数的特点.凡遇如下形式积分:等等,一定要放在后面积分.14解积分区域如图例改变积分的次序.15例交换积分次序：解原式=16例交换积分次序：解积分区域:原式=17例求证左边的累次积分中,提示不能直接计算，是y的抽

4、象函数,证毕.要先交换积分次序.证明18例求两个底圆半径为R,且这两个圆柱面的方程分别为及解求所围成的立体的体积.19解曲面围成的立体如图.例求由下列曲面所围成的立体体积，2021例解22补充轮换对称性结论:若D关于x,y满足轮换对称性(将D的边界曲线方程中的x与y交换位置,方程不变),则23证所以,例24二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择积分次序）小结［Y－型］［X－型］（1）化二重积分为二次积分；（2）交换积分次序；题型25作业习题8-2(1)(77页)3.(1)(3)(4)4.5.6.(

5、1)(2)7.(2)(3)26计算(学生练习）答案：27解由给出的积分画出相应的积分区域练习28