确定临界荷载的能量法.ppt

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1、13.3确定临界荷载的能量法一、能量法及临界状态的能量特征临界状态的能量特征其一，从能量守恒原理出发，有（应变能增量等于荷载功增量），由此导出铁木辛柯能量法。其二，从势能驻值原理出发，有总势能（以原始平衡位置为参考状态），由此导出瑞利－里兹能量法。二、能量守恒原理和铁木辛柯能量法在位于凹面内稳定平衡情况下，其势能EP最小。当受到某外界干扰使它偏离原平衡位置时，小球重心将升高，从而势能增加，即DEP>0在位于凸面上不稳定平衡情况下，其势能EP最大。当受到某外界干扰使它偏离原平衡位置时，小球重心将下降，从而势能减小，即DEP<0在处于平面上随遇平衡情况下，其势能EP为

2、常量。使小球偏离原平衡位置，将不会引起势能改变，即DEP≡0弹性中心压杆，若由于某种外因使压杆发生横向弯曲，杆件的应变能将会增加(增加了弯曲应变能)，杆件的荷载势能将会减小整个体系的势能的增量为体系处于随遇平衡状态时，势能的增量恒等于零即DEP≡0铁木辛柯能量法1、有限自由度体系的稳定（铁木辛柯法）用能量法重解上节图13-6所示刚性中心压杆的临界荷载。第一，假设失稳形式，如图实线所示，位移参数为q。第二，根据临界状态的能量特征建立临界状态平衡方程荷载功的增量为此即临界状态平衡方程。这是一个以q为未知量的齐次方程。能量法以下的步骤与静力法完全相同能量法计算临界荷载，

3、按以下步骤进行：1)假定失稳形式。2)根据能量特征。3)由位移有非零解的条件，建立稳定方程。4)解稳定方程，求特征荷载值。5)由最小特征荷载值，确定临界荷载。建立临界状态方程（即以能量形式表示的临界状态平衡方程）【例13-4】试用能量法重解上节例13-1图13-7a所示具有两个自由度体系的临界荷载。（1）假设失稳形式，如图所示。根据建立临界状态能量方程：荷载功的增量为又弹性支座的应变能增量为能量法以下的计算步骤与静力法完全相同2、无限自由度体系的稳定（铁木辛柯法）现以图示弹性中心压杆为例取压杆直线平衡位置作为参考状态。假设失稳形式，如图实线所示，y(x)为满足位移

4、边界条件的任一可能位移状态。取微段dx进行分析，微段两端点竖向位移的差值为按泰勒级数展开略去高阶微量，则可改写为荷载功的增量临界荷载的计算公式为1)假设失稳形式y(x)。2)计算y(x)和3)代入铁木辛柯能量法公式（13-6），计算临界荷载用铁木辛柯能量法计算无限自由度体系的临界荷载，可采用以下计算步骤：【例13-5】试用能量法计算图示两端简支的中心压杆的临界荷载。假设变形曲线为二次抛物线引入边界条件误差为21.6%假设以横向均布荷载作用下的变形曲线作为屈曲时近似变形曲线，即x=0,x=l处的几何边界条件仍能满足误差仅为0.13%假设变形曲线为正弦曲线同样能满足几

5、何边界条件。变形曲线只含一个位移参数a，即作为单自由度体系看待用静力法所得精确结果完全相同。这是因为所设的变形曲线式与实际屈曲时的变形曲线完全一致第一，用能量法求临界荷载，须事先假定屈曲时的变形曲线，得到的是对应的近似解。第二，用能量法求解临界荷载的关键是：假定的变形曲线y(x)必须合适，应尽可能接近实际屈曲形式又便于计算。为此，所假设的变形曲线最好能同时满足几何边界条件（支座处的挠度D和转角q）与静力边界条件（支座处的弯矩M和剪力FQ），至少应使几何边界条件得到满足；同时，所假设的变形曲线必须便于积分运算。第三，用能量法求得的临界荷载都大于精确值。假设的变形形式

6、与实际变形不一致。相当于在压杆中加入了某些附加约束，提高了压杆的刚度。通过以上算例，可以指出以下几点：三、势能驻值原理和瑞利－里兹能量法势能驻值原理可表述为：在弹性体系的所有几何可能位移状态中，其真实的位移状态使总势能为驻值，即总势能的一阶变分极大、极小或始终保持不变由此得到的驻值条件等价于平衡条件仅驻值条件还不能保证体系变形状态的稳定性，因为体系的平衡状态有稳定的、不稳定的和随遇平衡三种，要最终判别平衡状态究竟属于哪一种，还必须对总势能作进一步研究。研究结构变形状态是否稳定必须进一步考察总势能的二阶变分析1、有限自由度体系的稳定（瑞利法）设取该图中双点画线所示初

7、始平衡位置为参考状态。假设失稳形式如实线所示，位移参数为q。其总势能为弹簧的应变能荷载势能体系总势能第一，当体系处于稳定平衡状态时，其势能必为最小。因此，体系由稳定平衡状态过渡到不稳定平衡状态时，相应体系的总势能EP就由正定过渡到非正定。第二，当体系处于随遇平衡状态，即如以初始平衡位置作为参考状态，则必有总势能恒为02、无限自由度体系的稳定(瑞利-李兹法)图示为一弹性中心压杆。设取压杆在直线平衡的位置作为参考状态，则对任一几何可能位移，它的总势能为体系在临界状态时其总势能恒为0U和D均与所取体系几何可能位移有关。对弹性杆而言，其几何可能位移可有无限个，因此，满足式

8、的FP值就