资源描述：
《《维杆中的应力波》PPT课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第二章一维杆中的应力波-物理问题§2.1物理问题讨论一维杆中纵波的传播问题假设：①变形前后横截面为平面②只有均布轴向力各参量为、的函数(1)微元体的运动方程：即也可写成或(2-1)应变和质点的速度分别是位移对X,t的一阶导数,由位移u的单值连续条件即可得到联系和的相容性方程,即连续方程(2-2)(2)连续方程2(3)材料的本构关系材料的本构关系,先限于讨论应变率无关理论,则作另一个假定:应力只是应变的函数,即(2-3)由于应力波速很高,在应力波通过的微元体的时间内,微元体尚未与周围介质交换热量,可近似认为绝热过程.本构关系是绝热的本构关系.关于
2、变量的封闭控制方程组由(2-1),(2-2)和(2-3)组成.杆中应力波的传播问题即是从这些基本方程组中,按给定的初始条件和边条件来求解三个未知函数3一般情况下,是连续可微函数,设一阶导数为非零正数,引入由(2-1)和(2-3)消去,(2-4)或(2-2)和(2-3)消去(2-5)问题化为求解一阶偏微分方程组或4或由(2-1)、(2-2)消去可得(2-6)若对于线弹性材料,本构关系(2-7)(2-7)(2-6)消去则得同理可推出(2-8)线弹性杆中都满足形式为(2-8)的二阶偏微分方程，从不同的侧面表达了一维杆中波的传播规律。第二章一维杆中的应
3、力波-物理问题5若把和代入(2-4)中,则问题可完等价地归结为求解以位移为未知函数的二阶偏微分方程,即波动方程(2-9)上述控制方程组中,忽略了杆的横向运动的惯性作用,即忽略了杆的横向收缩或膨胀对动能的贡献.事实上,由于质点的横向运动将使杆横截面上的应力分布不再均匀,原来的横截面将变歪曲,也不再是一维问题.6第二章一维杆中的应力波-特征线特征线:方向导数法,即能把二阶偏微分方程(或等价的一阶偏微分方程组的线性组合)化为只包含沿自变量平面(X,t)上某曲线的方向导数的形式时,此曲线即为特征线.设自变量平面(X,t)上有某曲线,那么的一阶偏导数分别
4、为,沿此曲线方向的微分为7方向导数含义：在（X，t）平面内有一曲线Γ，函数f(X,t)在S方向上的方向导数定义为：给出了在与曲线Γ相切方向上对S的变化率。其中S的方向即为：8线性组合(1)(2)由(1)得:由(2)得:特征线微分方程,积分可得特征线.与波动方程(2-9)对比:第二章一维杆中的应力波-特征线9回代只包含特征线方向微分的常微分方程或上式规定了在特征线上必须满足的相互关系,称为特征线上的相容关系.解线性偏微分方程的问题就完全等价地化为解特征方程和特征线上的相容关系.10小结:二阶线性偏微分方程,有两条实特征线正向特征线:负向特征线:相
5、容关系物理平面(X，t)速度平面Xt第二章一维杆中的应力波-特征线11第二章一维杆中的应力波-特征线特征线的另一种求解方法:不定线法概念：沿(X,t)平面有这样的曲线,由沿此曲线上给定的初值及偏微分方程一起不足以确定全部偏导数的话,则此曲线称为特征线.12第二章一维杆中的应力波-特征线若曲线为特征线,上述方程的解不确定,则应有特征线方程相容条件即13例2-1:利用方向导数法求下列偏微分方程组的特征方程和特征相容关系.解:由方向导数的定义,上述偏微分方程组线性组合为(3)所对的特征方向应相同,(1)(2)14可得代入得特征线方程(3)式可写为即有
6、从而得15第二章一维杆中的应力波-初边值问题一、波动方程的解初值问题行波解法特定物理问题+初值→定解无限长杆的初始条件引入则(2-12)(2-13)(2-10)(2-11)16把(2-12)(2-13)代入（2-10）：上式对、各作一次积分得：方程（2-10）的通解为：（2-14）(2-14)代入初始条件(2-11)式得:其中:（2-15）第二章一维杆中的应力波-初边值问题17代入（2-14）中得到原初值问题的解为：式（2-14）（2-16）（2-17）波的传播规律的数学描述.（2-17）(2-15)式可解出:积分（2-16）第二章一维杆中的应
7、力波-初边值问题18二、物理意义和初值影响区间若若依赖于区间的初值.P点的依赖区间第二章一维杆中的应力波-初边值问题19影响区域示意图20常数,则=常数;常数,则=常数;沿:沿:A点的初始值分解成对应于和两部分，则这两部分分别沿着直线L和R的数值不变地传播出去。第二章一维杆中的应力波-初边值问题21初始值区间，用上式求出初始时刻和的分布，它们分别沿着斜率为，的方向形状不变的传播，为扰动传播的速度。扰动传播沿特征线。任意时刻t，是和的迭加。初始值分解:第二章一维杆中的应力波-初边值问题222.3弹性杆中波的传播（半无限长弹性杆，不考虑反射）第二章
8、一维杆中的应力波-弹性杆中波的传播（1）（1）式的通解为：引入对求的偏微分（2）沿直线（3）一特征线和相容关系23沿着（3）式可写成对于线弹性杆，因此
