重庆大学《电磁场》教学教案第二章静电场.pdf

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1、第二章第二章静静电电场场2011-3-15重庆大学电气工程学院第第22章章静电场静电场1、库伦定律电场强度2、静电场的无旋性电位3、静电场中的导体与电介质4、高斯定律5、静电场基本方程介质分界面上的衔接条件6、电位的微分方程与边值问题7、静电场的间接求解方法8、电容与部分电容9、静电能量与力1.1.库伦定律库伦定律电场强度电场强度1.库仑定律库仑定律是静电现象的基本实验定律，真空中两个静止的点电荷q与q相距为R时，其相互作用力:12qqe1212F=⋅212N(牛顿)eF4πRR21ε0q1Rq2qqe1221F12

2、=⋅2N(牛顿)两点电荷之间的作用力4πεR0F=−F2112−910−12式中ε==8.85×10F/m)036π2.电场强度定义：F(x,y,z)E(x,y,z)=limV/m(N/C)qt→0qt电场强度（ElectricFieldIntensity)E表示单位正电荷在电场中所受到的力(F),它是空间坐标的矢量函数,定义式给出了E的大小、方向与单位。1)点电荷产生的电场强度qqetrF=⋅24πεr0FqE(r)==eV/m2rq4πεrt0Fqr−r'q(r−r')qE(r)==⋅==e232RV/mqt4π

3、ε0r−r'r−r'4πε0r−r'4πε0R2)连续分布电荷产生的电场强度1r−r'dE(r)=dq(r')34πε0r−r'体电荷分布dq=ρ(r')dV'1r−r'E(r)=dq4π∫V'3ε0r−r'1ρ(r')dV'=e∫2R4πεV'R0面电荷分布:dq=σ(r')ds'线电荷分布:dq=τ(r')dl''1σ(r)ds'1τ(r')dl'E(r)=∫s'2eRE(r)=∫'2eR4πε0R4πεlR02.2.静电场的无旋性静电场的无旋性电位电位1.静电场旋度点qr−r'E(r)=⋅3电4πε0r−r'荷

4、qr−r'∇×E(r)=∇×34πε0r−r'矢量恒等式∇×CF=C∇×F+∇C×Fr−r'11∇×=∇×(r−r')+∇×(r−r')333r−r'r−r'r−r'直接微分得∇×(r−r')=01r−r'∇×(r−r')=−3×(r−r')=033r−r'r−r'故∇×E(r)≡0电场强度E的旋度等于零由叠加定理知上述结论适用于点电荷群和连续分布电荷产生的电场。即任一分布形式的静电荷产生的电场的旋度恒等于零，即∇×E(r)≡0表明：静电场是一个无旋场。2.静电场的环路定律由斯托克斯定理，得∫E⋅dl=∫(∇×E)⋅

5、ds≡0ls¾在静电场中,电场强度沿着闭合回路的环量恒等于零。¾电场力作功与路径无关,静电场是保守场。∇×=EE0⇒v∫⋅=dl0二者等价。l无旋场一定是保守场，保守场一定是无旋场。3.电位函数1)电位的引出∵∇×=E0根据矢量恒等式∇×∇ϕ=0∴E=−∇ϕ在静电场中可通过求解电位函数(Potential)，再利用上式可方便地求得电场强度E，式中负号表示电场强度的方向从高电位指向低电位。2)已知电荷分布，求电位：以点电荷为例推导电位：qr−r'E(r)=⋅34πε0r−r'1r−r'∵∇=−3r−r'r−r'q∴E(

6、r)=−∇=−∇ϕ(r)4πεr−r'0q∴ϕ(r)=+C4πεr−r'0q点电荷ϕ(r)=+C4πεr−r'0N1qi点电荷群ϕ(r)=∑+C4πε0i=1r−ri'1dq连续分布电荷ϕ(r)=∫+C4πΓ''εr−r0dq:ρdV,σdS,τdl3)电力线与等位线（面）¾E线：曲线上每一点切线方向应与该点电场强度E的方向一致，若dl是电力线的长度元，E矢量将与dl方向一致，故电力线微分方程E×dl=0在直角坐标系中：EEExyz==微分方程的解即为电力线E的方程。dxdydz¾在静电场中电位相等的点的曲面称为等位

7、面，即等位线(面)方程:ϕ(x,y,z)=C当取不同的C值时，可得到不同的等位线（面）。例2-3两个大小相等，符号相反的点电荷+q和−q，其间拉开一个小位移d，方向由负电荷指向正电荷，由此构成了一个电偶极子。求电偶极子在真空中产生的ϕ、E。zP(r,θ,φ)解：在球坐标系中：r1q⎛11⎞qr−r+qr⎜⎟21rϕp=⎜−⎟=θ24πεrr4πεrrd0⎝12⎠012因为r>>d，得-q(r>>d)⎛d⎞⎛d⎞r2−r1≈⎜r+cosθ⎟−⎜r−cosθ⎟=dcosθrr≈r2⎝2⎠⎝2⎠12qdcosθp⋅er代入

8、上式，得ϕ==p224πεr4πεr00qdcosθp⋅erϕ==p224πεr4πεr00p表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。⎛∂ϕ1∂ϕ1∂ϕ⎞E=−∇ϕ=−⎜e+e+e⎟⎜rrθrφrsin⎟⎝∂∂θθ∂φ⎠p=()2cosθe+sinθe4πεr3rθ03.3.静电场中的导体与电介质静电场中的导体与电介质1.静电场中的导体•导体内电