《关系习题解析》PPT课件.ppt

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1、关系习题解析——经典习题11.设A={a,b},B={0,1},求:A2B，ＡP(Ａ)解:(1)A2B={(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)}{0,1}={(a,a,0),(a,b,0),(b,a,0),(b,b,0),(a,a,1),(a,b,1),(b,a,1),(b,b,1)}(2)AP(A)={(a,),(a,{a}),(a,{b}),(a,{a,b}),(b,),(b,{a}),(b,{b}),(b,{a,b})}2２设R是集合A上的关系（1）R是自反的，则R•R是自反的；（2）R是对称的，

2、则R•R是对称的；（3）R是反自反和传递的，则R是反对称的；3/*证明思想：根据定义给出的性质证明*/证明：（1）证明思想与（2）和（3）相同（2）设(a,b)R•R,则存在c,(a,c)R,(c,b)R;因为R是对称的，所以(b,c)R,(c,a)R;所以(b,a)R•R。则RR是对称的。（3）假设(a,b)R,(b,a)R。因为R是传递的，所以(a,a)R，(b,b)R；因为R是反自反的，所以导致矛盾。43设R是A上的关系，若R是自反的和传递的，则R•R=R。证明思想：证明：1）证明R•RR；2）证

3、明RR•R：5证明：1）证明R•RR：设(a,b)R•R，存在cA,使得(a,c)R,(c,b)R，因为R是传递的，所以(a,b)R；则R•RR；2）证明RR•R：设(a,b)R，R是自反的，(b,b)R，所以(a,b)R•R；则RR•R。所以R•R=R。64举出A={1,2,3}上关系R的例子，使其具有下述性质：a)既是对称的，又是反对称的；b)既不是对称的，又不是反对称的；c)是传递的。7解：a)R={(1,1),(2,2),(3,3)}b)R={(1,2),(2,1),(2,3)}c)R={(1

4、,2),(2,1),(1,1),(2,2),(3,3)}85举出一个集合上关系的例子，分别适合于自反、对称、传递中的两个且仅适合两个。9解：A={a,b,c}A)R={(a,a)}对称，传递,不自反；B)R={(a,a),(b,b),(c,c),(a,b)}自反，传递，不对称；C)R={(a,a),(b,b),(c,c),(a,b),(b,c),(b,a),(c,b)}自反，对称，不传递106如果关系R和S是自反的、对称的和传递的，证明RS也是自反的、对称的和传递的。证明：a）因为R和S是自反的，对任意的aA，(a,a)

5、R并且(a,a)S，则(a,a)RS。b）对任意的a,bA,ab，如果(a,b)RS，因为(a,b)RS，所以(a,b)R并且(a,b)S;因为R和S是对称的，所以(b,a)R并且(b,a)S。则(b,a)RS。c）任意的(a,b)RS，(b,c)RS，则(a,b)R，(a,b)S，(b,c)R，(b,c)S，因为R和S是传递的，因此(a,c)R，(a,c)S。所以(a,c)RS。117是非判断：设R和S是A上的二元关系，确定下列命题是真还是假。如果命题为真，则证明之；如果

6、命题为假，则给出一个反例。(1)若R和S是传递的，则RS是传递的。(2)若R和S是传递的，则R•S是传递的。(3)若R是传递的，则R-1是传递的。(4)若R和S是对称的，则R•S是对称的。(5)若R是对称的，则R-1是对称的。(6)若R和S是反对称的，则RS是反对称的。(7)若R和S是反对称的，则RS是反对称的。(8)若R是反对称的，则R-1是反对称的。12(1)假。R={(1,2)},S={(2,3)}。(2)假。R={(1,4),(2,5)},S={(4,2),(5,3)}。(3)真。任意(a,b)R-1,(b,c

7、)R-1。所以(c,b)R,(b,a)R；又因为R是传递的，所以(c,a)R。因此(a,c)R-1。(4)假。R={(1,2),(2,1)},S={(2,3),(3,2)}。则R•S={(1,3)}。13(5)真。根据对称的性质证明。对于任意的(a,b)R-1，(b,a)R；因为R是对称的，则(a,b)R，所以(b,a)R-1。则R-1是对称的。(6)假。R={(1,2)}，S={(2,1)}，则RS={(1,2),(2,1)}。(7)假。R={(1,3),(2,4)},S={(3,2),(4,1)},则R

8、•S={(1,2),(2,1)}，不是反对称的。(8)真。反证法证明。设R-1不是反对称的。则存在(a,b)R-1,(b,a)R-1,ab。则(a,b)R,(b,a)R,与R是反对称的矛盾。148设R是A上的传递和自反关系,设T是A上的二元关系：(a,b)T当且仅