引例 甲、乙两射手各打了10发子弹,每发子弹 击中的环数分.ppt

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1、引例甲、乙两射手各打了10发子弹，每发子弹击中的环数分别为：问哪一个射手的技术较好？解首先比较平均环数甲=8.4，乙=8.4§3.2方差有六个不同数据仅有四个不同数据再比较稳定程度甲乙乙比甲技术稳定．进一步比较平均偏离平均值的程度甲：乙：定义若E((X-E(X))2)存在，则称其为随机变量X的方差，记为D(X)．D(X)=E((X-E(X))2)称为X的均方差.方差的概念(X-E(X))2——随机变量X的取值偏离平均值的情况，是X的函数，也是随机变量．E(X-E(X))2——随机变量X的取值偏离平均值的平均偏离程度—

2、—数．若X为离散型r.v.，概率分布为：若X为连续型，概率密度为f(x)．常用的计算方差的公式：D(C)=0D(aX)=a2D(X)D(aX+b)=a2D(X)特别地，若X，Y相互独立，则方差的性质若相互独立，为常数，则若X，Y独立对任意常数C，D(X)E(X–C)2，当且仅当C=E(X)时等号成立．D(X)=0P(X=E(X))=1称为X依概率1等于性质1的证明性质2的证明常数E(X)．性质3的证明当X，Y相互独立时，注意到性质4的证明：当C=E(X)时，显然等号成立；当CE(X)时，例1设X~P()，求D(

3、X)．解方差的计算例2设X~B(n，p)，求D(X)．解一仿照上例求D(X)．解二引入随机变量相互独立，故例3设X~N(，2)，求D(X)．解常见随机变量的方差分布方差概率分布参数为p的0-1分布p(1-p)B(n，p)np(1-p)P()分布方差概率密度区间(a，b)上的均匀分布E()N(，2)例4已知X，Y相互独立，且都服从N(0，0.5)，求E(

4、X–Y

5、)．解故例5设X表示独立射击直到击中目标n次为止所需射击的次数，已知每次射击中靶的概率为p，求E(X)，D(X)．解令Xi表示击中目标i-1次后

6、到第i次击中目标所需射击的次数，i=1，2，…，n．相互独立，且故标准化随机变量设随机变量X的期望E(X)、方差D(X)都存在，且D(X)0，则称为X的标准化随机变量．显然，仅知随机变量的期望与方差并不能确定其分布．例6P-1010.10.80.1P-2020.0250.950.025与它们有相同的期望、方差；但是分布却不同．解但若已知分布的类型，及期望和方差，常能确定分布.例7已知X服从正态分布，E(X)=1.7，D(X)=3，Y=1–2X，求Y的密度函数．解例8已知X的密度函数为：其中A,B是常数，且E(X)=

7、0.5．求A,B；设Y=X2，求E(Y)，D(Y)．解(1)(2)例9将编号分别为1~n的n个球随机地放入编号分别为1~n的n只盒子中，每盒一球．若球的号码与盒子的号码一致，则称为一个配对．求配对个数X的期望与方差．解则不相互独立．但P10P10P10矩1.K阶原点矩Ak=E(Xk)，k=1，2，…而E(

8、X

9、k)称为X的K阶绝对原点矩；2.K阶中心矩Bk=E[X-E(X)]k，k=1，2，…而E

10、X-E(X)

11、k称为X的K阶绝对中心矩；3.K+l阶混合原点矩E(XkYl)，k，l=0，1，2，…；4.K+l阶混合中

12、心矩E{[XE(X)]k[YE(Y)]l}，k，l=0，1，2，…几个重要不等式在概率论中，有些不等式对概率论的理论与应用起着很重要的作用．马尔科夫不等式设非负随机变量X的数学期望存在，则对任意正数，有证明设X为连续型随机变量，密度函数为f(x)，则对任意正数，有推论1设r.v.X的k阶绝对原点矩存在，则对任意0，有证明因为

13、X

14、非负，由马尔科夫不等式得若r.v.X的期望和方差存在，则对任意0，有它有以下等价的形式：推论2切贝晓夫(Chebyshev)不等式证明因为DX存在，所以EX²存在，从而EX存

15、在，由马尔科夫不等式得得证．设(X，Y)是一个二维随机变量，若EX²<，EY²<，则EXY存在，且等号成立的充要条件是证明先证定理的第一部分，由不等式利用此不等式，则有柯西-许瓦兹(Cauchy-Schwartz)不等式即EXY存在．现证明定理的第二部分，作变量为t的函数g(t)=E(tX-Y)²，由数学期望的性质得g(t)=t²EX²-t2EXY+EY²．即因为g(t)0，所以二次三项式t²EX²-t2EXY+EY²最多有一个实根，从而其判别式满足又因得证．