浙大数学分析.doc

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1、浙江大学2000年研究生数学分析试题2-r（共10分）（1）求极限lim~"+力(2)设A：。=a.x{=b,xn=-2心/=2,3,…,求lim暫2ms二(共10分)1・设f(O)=K,试证明lim•少)二・W)=Kqtob—abT(r2.设/⑴在[讪上连续，厂⑴在（a,b）内存在，试证明存在gw（a,b）,使得2弘）+心）-2/（字）=¥八。72三（共15分）求数项级数y>~TTT的和S»=iN00]2.试证明$（兀）=工一二在（l,oo）上的连续函数n=比四（共15分）1.设方程组$+）*+2°，确定了可微函数f"E）,试求如空，孚[xsinw+ysinv=0[v=v

2、（x.y）dxoy2.设弘，）=严也九，求™bjt五（共30分）卩xsinlcosx1•计算定积分/=[-~dx力1+COS*2.求以曲面"厂〜2为顶，以平面"0为底，以柱面兀2+）,2=i为侧面的曲顶柱体的体积V3•设工*表示半球而"J—于（兀2+）,2「）的上侧，求第二类曲而积分y)Vdydz+(x2y-2z)dzdx+(2x+z)y~dxdyA(共20分)1・将函数/(x)=x(-^

3、语言”证明lim('二2)(、二I)=o；six-3(B)(10%)给出一个一元函数/,在有理点都不连续，在无理点都连续，并证明乙(C)(10%)设/(x,y)为二元函数，在(兀0，儿)附近有定义，试讨论“/(x,y)在(x0,y0)处可微”与“/(兀,y)在(兀0，儿)附近关于乂、y的偏导数都存在”之间的关系，必耍时，请给出反例。二(共30%)(A)(5%)设/⑴二出，馥J｛兀｝由如下递推公式定义：兀。=1,兀°=/*(£),兀+1(灯=0,1,2,…)，求证：limx/?=V20"TOC(C)(5%)求f")(0),(71=0,1,2,…)，/(0)=0,/(x)=e'7

4、(当兀H()时。(D)(5%)求不定积分卜mrL/兀。g1(E)(5%)证明：卫)詔丄在(l,oo)上连续可微。三(共20%)(A)(10%)求第一型曲面积分/=ff(，S=,其屮hHR。x2+y2+z2=R2~+(Z~h)~(B)(10%)设a、b、c为三个实数，证明：方程ex=ax2^bx+c的根不超过三个。py(共20%)设fn(x)=COSX+COS2•¥+•••+cos"X,求证:(A)(10%)对任意自然数宛，方程fn(x)=1在[0,兀/3)内有且仅有一个止根;(B)(10%)设x„g[0,1/3)是九⑴=1的根，贝ljlimxn=^/3o浙江大学2003年研究

5、生数学分析试题1.（15分）叙述数列的柯西（Cauchy）收敛原理，并证明Z。2.（15分）设/（x）在［q,oo］上一致连续，（p{x）在［q,oo］上连续，且lim［/（x）-ce证明：0（兀）在［a,ooj上一致连续。2.（15分）设/（兀）在S,oo］上有二阶连续导数,且/•⑷〉0,厂⑷<0,当兀〉d时fn（x）<0o证明：在［a,oo］内，方程/（x）=0有且只有一个实根。3.（20分）设/*（兀）连续,（p（x）=ff（xt）dt,且lim丄⑴=A（常数），求0（兀）,'XT（）X并讨论（px）在x=（）处的连续性。4.（10分）定义人

6、（兀）为恥）2S!1出（・，归,2,…dxn恥）=10m^k证明：（Fn（x）Pk（x）dx=2◎m=k12加+1”一1•极限收敛iimy（ir5.（10分）给出Riemann积分^f（x）dx的定义，并确定实数$的范围使下列1—0n7・（20分）证明：00（_

7、H-11）函数项级数工在（-00,00）上一致收敛，但是对任意xe（-00,00）非绝/r=l"+兀对收敛；2）函数项级数Y-X-对任意X6（-00,00）®绝对收敛，但在（-00,00）±非育（1+0）"一致收敛。8.（45分）计算1)(15分)max0<5<1•*)2）（15分）『严迪,其中£>为平面曲线小=

8、1,兀）,=3,），=x,y2=3x所围成的有界闭区域。3)(15分)jj/Cx,y,z)dS,期/(x,y,z)=]_JC_)厂_乙・JT+)厂+込・<10x2+)'2+z2>1浙江大学-OO四年攻读硕士研究生入学考试试题考试科目：数学分析-（15分）设函数/（兀）在区间X上有定义。试证明：兀切在X上一致连续的充耍条件是对区间X上任意的两数列｛兀｝与｛叮｝,当limCV-叮）=0时，有"TOOV/U/））=0o"TOC二（15分）设函数/⑴在区间（-1,1）内具有直到三阶的连续导数，且/（0）=0,l