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1、浙江大学2000年研究生数学分析试题2-r(共10分)(1)求极限lim~"+力(2)设A:。=a.x{=b,xn=-2心/=2,3,…,求lim暫2ms二(共10分)1・设f(O)=K,试证明lim•少)二・W)=Kqtob—abT(r2.设/⑴在[讪上连续,厂⑴在(a,b)内存在,试证明存在gw(a,b),使得2弘)+心)-2/(字)=¥八。72三(共15分)求数项级数y>~TTT的和S»=iN00]2.试证明$(兀)=工一二在(l,oo)上的连续函数n=比四(共15分)1.设方程组$+)*+2°,确定了可微函数f"E),试求如空,孚[xsinw+ysinv=0[v=v
2、(x.y)dxoy2.设弘,)=严也九,求™bjt五(共30分)卩xsinlcosx1•计算定积分/=[-~dx力1+COS*2.求以曲面"厂〜2为顶,以平面"0为底,以柱面兀2+),2=i为侧面的曲顶柱体的体积V3•设工*表示半球而"J—于(兀2+),2「)的上侧,求第二类曲而积分y)Vdydz+(x2y-2z)dzdx+(2x+z)y~dxdyA(共20分)1・将函数/(x)=x(-^3、语言”证明lim('二2)(、二I)=o;six-3(B)(10%)给出一个一元函数/,在有理点都不连续,在无理点都连续,并证明乙(C)(10%)设/(x,y)为二元函数,在(兀0,儿)附近有定义,试讨论“/(x,y)在(x0,y0)处可微”与“/(兀,y)在(兀0,儿)附近关于乂、y的偏导数都存在”之间的关系,必耍时,请给出反例。二(共30%)(A)(5%)设/⑴二出,馥J{兀}由如下递推公式定义:兀。=1,兀°=/*(£),兀+1(灯=0,1,2,…),求证:limx/?=V20"TOC(C)(5%)求f")(0),(71=0,1,2,…),/(0)=0,/(x)=e'7
4、(当兀H()时。(D)(5%)求不定积分卜mrL/兀。g1(E)(5%)证明:卫)詔丄在(l,oo)上连续可微。三(共20%)(A)(10%)求第一型曲面积分/=ff(,S=,其屮hHR。x2+y2+z2=R2~+(Z~h)~(B)(10%)设a、b、c为三个实数,证明:方程ex=ax2^bx+c的根不超过三个。py(共20%)设fn(x)=COSX+COS2•¥+•••+cos"X,求证:(A)(10%)对任意自然数宛,方程fn(x)=1在[0,兀/3)内有且仅有一个止根;(B)(10%)设x„g[0,1/3)是九⑴=1的根,贝ljlimxn=^/3o浙江大学2003年研究
5、生数学分析试题1.(15分)叙述数列的柯西(Cauchy)收敛原理,并证明Z。2.(15分)设/(x)在[q,oo]上一致连续,(p{x)在[q,oo]上连续,且lim[/(x)-
ce证明:0(兀)在[a,ooj上一致连续。2.(15分)设/(兀)在S,oo]上有二阶连续导数,且/•⑷〉0,厂⑷<0,当兀〉d时fn(x)<0o证明:在[a,oo]内,方程/(x)=0有且只有一个实根。3.(20分)设/*(兀)连续,(p(x)=ff(xt)dt,且lim丄⑴=A(常数),求0(兀),'XT()X并讨论(px)在x=()处的连续性。4.(10分)定义人
6、(兀)为恥)2S!1出(・,归,2,…dxn恥)=10m^k证明:(Fn(x)Pk(x)dx=2◎m=k12加+1”一1•极限收敛iimy(ir5.(10分)给出Riemann积分^f(x)dx的定义,并确定实数$的范围使下列1—0n7・(20分)证明:00(_
7、H-11)函数项级数工在(-00,00)上一致收敛,但是对任意xe(-00,00)非绝/r=l"+兀对收敛;2)函数项级数Y-X-对任意X6(-00,00)®绝对收敛,但在(-00,00)±非育(1+0)"一致收敛。8.(45分)计算1)(15分)max0<5<1•*)2)(15分)『严迪,其中£>为平面曲线小=
8、1,兀),=3,),=x,y2=3x所围成的有界闭区域。3)(15分)jj/Cx,y,z)dS,期/(x,y,z)=]_JC_)厂_乙・JT+)厂+込・<10x2+)'2+z2>1浙江大学-OO四年攻读硕士研究生入学考试试题考试科目:数学分析-(15分)设函数/(兀)在区间X上有定义。试证明:兀切在X上一致连续的充耍条件是对区间X上任意的两数列{兀}与{叮},当limCV-叮)=0时,有"TOOV/U/))=0o"TOC二(15分)设函数/⑴在区间(-1,1)内具有直到三阶的连续导数,且/(0)=0,l