运用轴对称进行化归，解决几何最值问题.pdf

《运用轴对称进行化归，解决几何最值问题.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、CHUZH0NGSHENGSHlJlE运用轴对称进行化归解决几何最值问题韩江未知问题可化归为已知问题，复杂问最短．把这个数学事实称为“模型2”，简称题可化归为简单问题．化归是一种非常重“模2”．要的数学思想方法，只要掌握了化归的方很多几何最值问题，都可以通过化归法，一切问题都将迎刃而解．本文以轴对的方法与这两个数学模型联系起来．最经称变换为例，与同学们谈谈用化归思想解典的莫过于“将军饮马问题”．决几何最值问题．唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两一、两个数学基本事实句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交两点之间的所有连线中，线段最短．河．”诗中隐含着尊坳如图1，线段AB最短．把这个

2、数学事实称一个有趣的数学山为“模型1”，简称“模1”．问题．如图3，诗中将军在观望烽火之后从山脚下河流f的4点出发，走到ABHC河边饮马后再到B图3图1图2点宿营．请问怎样走才能使总路程最短?在直线外一点与直线上各点连接的所【解析】如图4，作4A关于直线z的对有线段中，垂线段最短．如图2，垂线段PH称点A，连接AB交直线z于点P，连接PA、●●■●●0、、k电、、f为MN=MO+NO，所以MN：BM+CM【解析】这题是上一题的变形，基本条拓展：如图9，厶4CD是AABC的外角，件不变，所以基本思路也不变，只不过图形／__ABC、LACD的平分线相交于点0，Ⅳ过重叠在一起，有点难

3、于辨认，但你只要抓住点D，且MN／／BC，分别交AB、AC于点、Ⅳ，它的“原型”：“BO平分LABC，MO／／BC”可得试探究MN与BM、CN的数量关系式，并说0徊，“CO平分厶4CD，NO／／B’可得J7、，l0=明理由．NC；因为MN=Mo—NO，所以MN=BM—CM很多试题是基于同一背景、同一知识点或同一方法层面命制的，都有“似曾相识”的感觉，如果能在新的问题情境中找出CD它的原型，那问题就迎刃而解了．图9(作者单位：江苏省无锡市天一实验学校)Tntelligentmathematics1一慧数攀PB，此时PA+PB最营，BE的长是定值，故要使短．数学原理：点周长最小，只

4、要PB+PEA、是定点，点腥最小，此问题化归为动点，点的对称点“模3”．如图8，作点关A仍是定点，根据于直线AC的对称点轴对称性质得PA=(与点D重合)，连接BE，PA，从而PA+咫=图4交直线C于点P，点P即PA+胎，问题就化归为“模1”，所以图4中为所求．A—P-B为最短路径，如果点P取在其他位2．双动点最值问题置，都将违背“两点之间，线段最短”．例3如图9，已知AOB=30。，点M在把“将军饮马问题”称为“模型3”，简称边D曰上，且点到“模3”．“模3”的特点是有两个定点、一个OA的距离是2，点JP动点，两个定点在动点所在直线的同一侧．为OB平分线上二、具体应用的一个动点

5、，点Ⅳ是OB_-~的一个动点，DNMB1．单动点最值问题图9例1如图5，正方形BCD的边长是1，则PⅣ的最小值为——．以A为一边作等边△ABE，点E在正方形【解析】点是定点，点P、Ⅳ是动点．如ABCD内，在对角线AC上有一点P，4~PD+图lO，作点关于PE的和最小，则这个最小值为——．直线OC的对称点，点也是定点，此时PM+PN=PM+PN，问题化归为“模2．过M佟MNL图1OOB于点Ⅳ，交OC于点P，所以+PⅣ的最小值；Ⅳ=2．侈Ⅱ4如图11，AOB内有一点P，点【解析】点D、E是定点，点P是动点，点、Ⅳ分别在射线OA、OB上运动，请确定点D、在直线AC的同一侧，此问题符合

6、“模、Ⅳ的位置，使△PMN的周长最小．PI3”的特点，是与“模3”相同的问题．如图6，作点D关于直线AC的对称点D(与点曰重合)，BE与4C交于点P，此时PD+PE的和最小，最小值为1．例2如图7。正方形ABCD中，AB=4，E是BC＼i的中点，点P是对角线＼：P2AC上一动点．试确定点图1l图12P的位置，使△PBE的周【解析】如图12，分别作点P关于OA、长最小．OB的对称点P1、P2，则=P1M，PN=P2N，点【解析】APBE的周长=PB+PE+BE，而尸1、P2也是定点，要使PM+MN+PN最小，只57Tntelligentmathematics■■慧数掌CHUZHo

7、l、lGSHEI、lGSHlJlE要使．Vl+P2Ⅳ最小，问题化归为“模1”，得图16，此时PE+PF=PA+PB一(A+，)=所以只要连接PlP2，分别交OA、OB于点、PA+PB一3，故要使PE+P陨小，只要PA+PBⅣ，此时点、Ⅳ的位置即为所求．最小，问题化归为“模3”．作点B关于直线本题通过作同一个点关于不同直线的CD的对称点B(点B恰在AD的延长线上)，两个对称点，从而改变了线段PM、PⅣ的位连接BA，交CD于点P，连接PA、PB，分别交置，将三角形的周长问题化归为“模1”，这o、