对勾函数的一点思考.doc

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1、对勾函数的一点思考对勾函数是数学中一种帘见而又特殊的函数，又被称为“双勾函数”，“勾函数”.不过曲于数学教材中对对勾函数涉及较少，学生对相关知识的学习比较分散，也缺乏系统的归纳和提升.因此，学生应在适当的时候，及时加以总结、巩固和提高.対勾函数作为考试的内容时，主要考察单调性、极值、值域等.因此，理解対勾函数的知识，灵活运用这些知识点的技能，对掌握一些题目的做法大有裨益.所谓的对勾函数，是形如/（小=处+。（a〉O,b>（））的函数，山它的图像得名.X对勾函数的性质如下：（1）定义域为（Y）U（0,+°O）(2)值域为(-oo,-2y[abU[2j^K,+oo)（3）奇偶性：在其

2、定义域上是奇函数（4）单调性:单调增区间为•单调减区间（5）渐进性：渐进线是y轴和直线y=x方法一：利用单调性的定义进行证明:任意取G（0,+O0）且x,0*•••/(^2)

3、X2>—,••-(*)式大于0即/（屛）一/（兀2）V°・•・/（兀2）

4、＞/（刁）…在—,+00上是增函数.a」同理可得,时‘f（无）=ar+°是减函数.（4）当兀w时'f（X）=OX+2是增函数X综上所述/（x）=b7/[b~和ax+_在一〜一①—J—,+8XQa丿上是增函数，和上是减函数方法二：通过导数的知识来探究取调性.f(x)=a_q=a；丄"，令广(兀)=0,JCJC相应的极大值为2亦，极小值为-14ab.广（兀）〉0,此时于（兀）单调递增广（兀）＜0,此时/•（%）单调递减r(x)0,此时/(兀)单调递增一、对勾函数值域及其应用对勾函数的值域在高中数学中是一个重要的知识点•对•于对勾函数，当其定义域为

5、(-oo,0)U(0,+2),函数不存在最值，但存在极值.值域为(-00,-2乔可U〔2巫,+00)；当其定义域为(-8,0)或((),+s)时，函数存在垠值.利用对勾函数的这一性质，我们可以解决一类复杂的函数的值域问题.(1例1求y=log2x+—(x>2)的值域分析：山已知先求出无+丄的范围，这是关键部分，然后再根据对数函数的单调性，求解.解：=x+—(x>2)•••函数的值域为例2若无丘,贝ij2tan+的最小值为分析：根据％的范围，求岀伽兀的范围•再根据刈•勾函数的图像，求岀最值.解：令r=tanx(/>0)/•y=2f+-=2令g(r)=r+-(r>0),山対勾函数的单调性

6、及最值知识’g(r)min=V2例3（2006,上海高考）己知函数有y=x+纟如下性质：如果常数d〉0,那么该函数在（0,侖］上是减函数，在［丽,炖）上是增函数.（1）如果函数y=x+—（x>0）的值域为［6,+03）,求b的值X（2）研究函数y=/+二（常数c>0）在定义域内的单调性，并说明理山（3）对函数y=x+-和），=/+目（常数。〉0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例，研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数%)(.1、nri)JC+-+o+XVX)&丿（〃是止整数）在区间上的最大值和在瑕小值（可利用你的研究结论）分析：根据题目己知，灵活使用对勾

7、函数的性质，进而解决问题.M：（Dill题意得,上是减函数，在上是增函数,•:当x=VF,函数y=x+仝取得最小值6.即JF+壬=6,・••方=log°9xV2"亠2bcC/c-⑵设()<«¥]

8、［辺,+00）上是増函数，在上是减函数，在［詡G,+00）上是增函数，在x2"31]兀+-TT2〃-3儿/…+c；1+…+C；；/丁+—儿I<兀"丿2/?-3r0®+_1因此F（兀）在-J上是减函数,在［1,2］上是增函数.所以,当x=-或兀=2时,尸（兀）取（9丫‘得最大值-+（2丿,当x=l时，F（x）収得最小值2曲例4求下列函数在毗（1,2］的值域（2）分析：对函数进行变形，进而根据天的范围，求出x+-的范围,x求出值域.解:(1)X1}?=7TT=