资源描述：
《2011南京理工自主招生数学试卷》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、数学自主招生、保送生考试数学试卷一.填充题:本大题共20小题,每小题5分,共计100分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.设全集,则▲2.若命题“”是假命题,则实数的取值范围为▲.3.已知圆:,直线.过上一点作圆的切线,则当切线长最短时,点的坐标为▲4.函数的值域为▲5．对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次,得到如下表所示的数据.观测次数12345678观测数据4042414444454748在上述统计数据的分析中,一部分计算见如图所示的算法流程图（其中是这8个数据的平均数），则输出的S的值是▲6.已知平面向量
2、满足:与的夹角为,则的取值范围为▲7.已知正三棱柱的底面边长为1,两侧面的异面的对角线互相垂直,则该三棱柱的侧棱长为▲8.某公司在2010年投资了一个项目,每年都既有现金投入,又有现金收入.已知2010年度公司投入了1000万元,以后每年投入将比上年减少20%;2010年度公司收入了500万元,以后每年收入会比上年增加25%.按此计算,公司将于▲年即可收回全部投入.(参考数据:)9.已知椭圆为其左右焦点,为椭圆上任意一点,为内切圆圆心,点满足且(且),则椭圆的离心率是▲10.已知关于方程，其中、、是非零向量，且、不共线
3、，则该方程实数解的个数为▲个11.已知若不等式在上有解,则实数的取值范围为▲12.已知，若函数存在整数零点，则的取值范围为▲13.设表示不超过的最大整数,例如:等.则方程在10内的解组成的集合为▲14.已知数列满足:,且,则的通项公式为▲15.已知为正常数,,若的最大值为,且,则的取值范围为▲16.已知函数.（），那么下面命题中真命题的序号是▲:①的最大值为;②的最小值为;③在上是减函数;④在上是减函数.17.已知函数,若且在区间上的最小值为,则▲18.设函数是定义在上的奇函数,且对任意的,当时,总有,则下列不等式一定
4、成立的是▲(填上你认为正确的结论的序号):①;②;③;④19.在平面直角坐标系中,为坐标原点.定义、两点之间的“直角距离”为,若点在直线上运动,定义.已知点，直线的方程为，则的最大值为▲20.已知函数,若在上既有最大值,又有最小值,且最大值与最小值的和为,则▲.二.解答题:本大题共6小题,共计100分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.21．（本小题满分14分）在锐角中,角的对边分别为,已知.（Ⅰ）若,求的值;（Ⅱ）求的最大值.22.（本小题满分14分）如图，在三棱锥中，，，侧面为等边三角形，侧棱,为中点.（Ⅰ
5、）求证：⊥；（Ⅱ）求证：平面平面；（Ⅲ）求点到平面的距离.1023.（本小题满分14分）某商场以100元/件的价格购进一批衬衣，以高于进货价的价格出售，销售期有淡季与旺季之分，通过市场调查发现：①销售量(件)与衬衣标价(元/件)在销售旺季近似地符合函数关系：，在销售淡季近似地符合函数关系：，其中为常数；②在销售旺季，商场以140元/件的价格销售能获得最大销售利润；③若称①中时的标价为衬衣的“临界价格”，则销售旺季的“临界价格”是销售淡季的“临界价格”的1.5倍．请根据上述信息，完成下面问题：(Ⅰ)分别写出销售旺季和销售
6、淡季销售总利润(元)与标价(元/件)的函数关系式(含、或);(Ⅱ)在销售淡季，该商场要获得最大销售利润，衬衣的标价应定为多少元/件？24.（本小题满分18分）已知点在抛物线上，点到抛物线的焦点的距离为2，直线与抛物线交于两点.（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）若以为直径的圆与轴相切，求该圆的方程；（Ⅲ）若直线与轴负半轴相交，求面积的最大值.25．（本小题满分20分）如图,，，，，是曲线上的个点，点在轴的正半轴上，是正三角形(是坐标原点).（Ⅰ）求；（Ⅱ）求出点的横坐标关于的表达式；（Ⅲ）设，若对任意正整数及,不等式恒成立,求
7、实数的取值范围.1026．（本小题满分20分）已知实数满足,设函数．(Ⅰ)当，求的极小值；(Ⅱ)若函数的极小值点与的极小值点相同．求的极大值的最大值,并求取到最大值时的值．10数学自主招生、保送生考试数学试卷参考答案一.填充题:本大题共20小题,每小题5分,共计100分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.2.3.(2,2)4.5.6.7.8.20149.10.0或111.12.13.14.15.16.①④17.或18.①②④19.520.8二.解答题:本大题共6小题,共计100分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算
8、步骤.21．（本小题满分14分）解:（Ⅰ）..…………………2分,,…………………4分又,得…………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知,,即为锐角三角形,均为正数,,当且仅当时等号成立.…………………10分当且仅当时等号成立..,即的最大值的最大值为.…………………14分22.（本小题满分14分）解:（Ⅰ）设中点为，连结，，因为，所以.…
