高中数学导数讲解.ppt

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1、导数的概念及基本函数的导数一、复习目标了解导数概念的某些实际背景(瞬时速度,加速度,光滑曲线切线的斜率等),掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义,理解导数的概念,熟记常见函数的导数公式c,xm(m为有理数),sinx,cosx,ex,ax,lnx,logax的导数,并能熟练应用它们求有关导数.二、重点解析导数概念比较抽象,其定义、方法一般不太熟悉,因此对导数概念的理解是学习中的一个难点.本节要重点掌握根据导数定义求简单函数的导数的方法.一方面,根据导数定义求导可进一步理解导数的概念,另一方面

2、,许多法则都是由导数定义导出的.导函数(导数)是一个特殊的函数,它的引出和定义始终贯穿着函数思想,首先定义函数y=f(x)在点x0处可导,且在x0处有唯一的导数f(x0),然后定义函数y=f(x)在开区间(a,b)内可导,因而对于开区间(a,b)内每一个确定的值,都对应着一个确定的导数f(x0).据函数定义,在开区间(a,b)内就构成了一个新函数,即导数.三、知识要点1.导数的概念对于函数y=f(x),如果自变量x在x0处有增量Dx,那么函数y相应的有增量Dy=f(x0+Dx)-f(x0),比值

3、叫做函数y=f(x)在x0到x0+Dx之间的平均变化率,即=.xyxyxf(x0+x)-f(x0)xy如果当Dx0时,有极限,就说函数y=f(x)在点x0处可导,并把这个极限叫做f(x)在点x0处的导数(或变化率),记作:f(x0)或y

4、x=x0,即:xf(x0+x)-f(x0)f(x0)=lim=lim.x0xyx0f(x)=y=lim=lim.xf(x+x)-f(x)x0xyx0函数y=f(x)的导数f(x),就是当Dx0时,函数的

5、增量Dy与自变量的增量Dx的比的极限,即:xy求函数y=f(x)在点x0处的导数的步骤:(2)求平均变化率:=;xf(x0+x)-f(x0)xy(1)求函数的增量:y=f(x0+x)-f(x0);(3)取极限:得导数f(x0)=lim.xyx0如果函数f(x)在开区间(a,b)内每一点都可导,就说f(x)在开区间(a,b)内可导.这时,对于开区间(a,b)内每一个确定的值x0,都对应着一个确定的导数f(x0),这样就在开区间(a,b)内构成一个新的函数,我们把这一新函数叫

6、做f(x)在开区间(a,b)内的导函数,记作f(x)或y(需指明自变量x时记作yx),即:函数y=f(x)在点x0处的导数f(x0),就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率k,即:k=tan=f(x0).相应的切线方程为y-y0=f(x0)(x-x0).2.导数的意义(1)几何意义:(2)物理意义:函数S=s(t)在点t0处的导数s(t0),就是当物体的运动方程为S=s(t)时,物体运动在时刻t0时的瞬时速度v,即:v=s(t0).设v=v(t)是速度函数,则

7、v(t0)表示物体在时刻t=t0时的加速度.f(x)=y=lim=lim.xf(x+x)-f(x)x0xyx0导函数也简称导数.当x0(a,b)时,函数f(x)在点x0处的导数f(x0)等于函数f(x)在开区间(a,b)内的导数f(x)在点x0处的函数值.如果函数y=f(x)在点x0处可导,那么函数y=f(x)在点x0处连续,但要注意连续不一定可导.3.几种常见函数的导数(1)c=0(c为常数),(xn)=nxn-1(nQ);(2)(sinx)=cosx,(cos

8、x)=-sinx;(4)(ex)=ex,(ax)=axlna.(3)(lnx)=,(logax)=logae;1x1x典型例题1已知函数f(x)=(1)确定a,b的值,使f(x)在x=0处连续、可导;(2)求曲线y=f(x)在点P(0,f(0))处的切线方程.x2+x+1,x≤0,ax+b,x>0.解:(1)要使f(x)在x=0处连续,则需limf(x)=limf(x)=f(0).x0-x0+而limf(x)=lim(x2+x+1)=1,f(0)=1,x0-x0-limf(x)=l

9、im(ax+b)=b,x0+x0+故当b=1时,可使f(x)在x=0处连续.又lim=limxy[(0+x)2+(0+x)+1]-(02+0+1)x0-x0-x=lim(x+1)=1,x0-x0+lim=limxy[a(0+x)+b]-(02+0+1)xx0+=limax+b-1xx0+=a+limb-1xx0+故当b-1=0且a=1即a=b=1时,f(x)在x=0处可导.综上所述,当b=1,aR时,f(x)