各类范数定义.doc

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1、范数的定义　　设X是数域K上线性空间，称║˙║为X上的范数(norm)，若它满足：　　1.正定性：║x║≥0，且║x║=0<=>x=0；　　2.齐次性：║cx║=│c│║x║；　　3.次可加性(三角不等式)：║x+y║≤║x║+║y║。　　注意到║x+y║≤║x║+║y║中如令y=-x，再利用║-x║=║x║可以得到║x║≥0，即║x║≥0在定义中不是必要的。　　如果线性空间上定义了范数，则称之为赋范线性空间。　　注记：范数与内积，度量，拓扑是相互联系的。　　1.利用范数可以诱导出度量：d(x,y)=║x-y║，进而诱导出拓扑，因

2、此赋范线性空间是度量空间。　　但是反过来度量不一定可以由范数来诱导。　　2.如果赋范线性空间作为(由其范数自然诱导度量d(x,y)=║x-y║的)度量空间是完备的，即任何柯西(Cauchy)序列在其中都收敛，则称这个赋范线性空间为巴拿赫(Banach)空间。　　3.利用内积<˙,˙>可以诱导出范数：║x║=^{1/2}。　　反过来，范数不一定可以由内积来诱导。当范数满足平行四边形公式║x+y║^2+║x-y║^2=2(║x║^2+║y║^2)时，这个范数一定可以由内积来诱导。　　完备的内积空间成为希尔伯特(Hilbert

3、)空间。　　4.如果去掉范数定义中的正定性，那么得到的泛函称为半范数(seminorm或者叫准范数)，相应的完备空间称为Fréchet空间。　　对于X上的两种范数║x║α,║x║β，若存在正常数C满足　　║x║β≤C║x║α　　那么称║x║β弱于║x║α。如果║x║β弱于║x║α且║x║α弱于║x║β，那么称这两种范数等价。　　可以证明，有限维空间上的范数都等价，无限维空间上至少有阿列夫1(实数集的基数)种不等价的范数。算子范数　　如果X和Y是巴拿赫空间，T是X->Y的线性算子，那么可以按下述方式定义║T║：　　║T║=sup{║

4、Tx║：║x║<=1}　　根据定义容易证明║Tx║<=║T║║x║。　　对于多个空间之间的复合算子，也有║XY║<=║X║║Y║。　　如果一个线性算子T的范数满足║T║<+∞，那么称T是有界线性算子，否则称T是无界线性算子。　　比如，在常用的范数下，积分算子是有界的，微分算子是无界的。　　容易证明，有限维空间的所有线性算子都有界。有限维空间的范数　　基本性质　　有限维空间上的范数具有良好的性质，主要体现在以下几个定理：　　性质1：对于有限维赋范线性空间的任何一组基，范数是元素(在这组基下)的坐标的连续函数。　　性质2(Minkow

5、ski定理)：有限维线性空间的所有范数都等价。　　性质3(Cauchy收敛原理)：实数域(或复数域)上的有限维线性空间(按任何范数)必定完备。　　性质4：有限维赋范线性空间中的序列按坐标收敛的充要条件是它按任何范数都收敛。　　常用范数　　这里以C^n空间为例，R^n空间类似。　　最常用的范数就是p-范数。若x=[x1,x2,...,xn]^T，那么　　║x║p=(

6、x1

7、^p+

8、x2

9、^p+...+

10、xn

11、^p)^{1/p}　　可以验证p-范数确实满足范数的定义。其中三角不等式的证明不是平凡的，这个结论通常称为闵可夫斯基(Mink

12、owski)不等式。　　当p取1，2，∞的时候分别是以下几种最简单的情形：　　1-范数：║x║1=│x1│+│x2│+…+│xn│　　2-范数：║x║2=(│x1│^2+│x2│^2+…+│xn│^2)^1/2　　∞-范数：║x║∞=max(│x1│,│x2│,…,│xn│)　　其中2-范数就是通常意义下的距离。　　对于这些范数有以下不等式：║x║∞≤║x║2≤║x║1≤n^{1/2}║x║2≤n║x║∞　　另外，若p和q是赫德尔(Hölder)共轭指标，即1/p+1/q=1，那么有赫德尔不等式：　　

13、

14、=

15、

16、

17、x^H*y

18、<=║x║p║y║q　　当p=q=2时就是柯西-许瓦兹(Cauchy-Schwarz)不等式。矩阵范数　　矩阵范数除了正定性，齐次性和三角不等式之外，还规定其必须满足相容性：║XY║≤║X║║Y║。　　注：如果不考虑相容性，那么矩阵范数和向量范数就没有区别，因为mxn矩阵全体和mn维向量空间同构。引入相容性主要是为了保持矩阵作为线性算子的特征，这一点和算子范数的相容性一致，并且可以得到Mincowski定理以外的信息。　　诱导范数　　把矩阵看作线性算子，那么可以由向量范数诱导出矩阵范数　　║A║=max{║Ax║:║x

19、║=1}=max{║Ax║/║x║:x≠0}，　　它自动满足对向量范数的相容性　　║Ax║≤║A║║x║，　　并且可以由此证明　　║AB║≤║A║║B║。　　注：　　1.上述定义中可以用max代替sup是因为有限维空间的单位闭球是紧的(有限开覆盖定