线性代数归纳总结.doc

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1、《线性代数及其应用》一、行列式1、余子式，代数余子式2、几个定理(定理2.2，2.3，2.4)按行展开：按列展开：定理2.4；.3、行列式的性质(1).(2)若行列式的某一列(行)可以拆成两列(行)之和，则行列式可以拆成两个行列式之和，即.(2)若行列式有两列(行)成比例，则行列式等于零.(3)初等变换性质4、行列式计算：三角化法(性质)；降阶法(性质+展开定理)；范德蒙德、三对角行列式的结论.5、分块矩阵的行列式二、矩阵1、矩阵及其运算(加法、数乘、乘法、幂、转置、方阵的行列式、分块运算)(1)乘法的结合律(2)方阵的幂的求

2、解(3)转置的性质：(4)方阵的行列式：(5)分块运算(转置、乘法--例3.13、3.14)2、初等变换及初等矩阵(1)左行右列(矩阵的初等变换可用矩阵乘法来表示)(2)初等矩阵都是可逆的，且初等矩阵的逆仍是初等矩阵，即3、可逆矩阵(1)定义、性质(2)伴随矩阵(3)判定：可逆(4)逆矩阵的求法(5)分块矩阵的逆(6)矩阵方程的求解：，其中可逆.法1.法2.4、矩阵的秩与矩阵的相抵(1)矩阵的秩与性质(101页，105-107页)①；②子矩阵的秩不会超过原矩阵的秩；③④；⑤；⑥；⑦或；若，则，其中，.⑧设，则(2)求矩阵的秩(

3、理论依据：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩)(行阶梯形矩阵)，则的非零行的个数.(3)矩阵的相抵(等价)①②，其中可逆.③或.三、线性空间1、向量组的线性相关性的判断(命题4.2、4.3、4.4、4.5、定理4.1、4.2、4.4)(1)证明方法--(2)基本结论判断向量组线性相关（命题4.2，命题4.3(2),定理4.1及推论1，定理4.2）充要：线性相关其中至少有一个向量可由其余向量线性表示.充分：线性相关判断向量组线性无关（命题4.3(3)，命题4.4的推论）2、等价向量组(1)(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表示，则(Ⅰ)(Ⅱ).(2

4、)(Ⅰ)与(Ⅱ)等价，则(Ⅰ)(Ⅱ).3、子空间的验证(1)非空、加法和数量乘法的封闭；(2)命题4.1(生成子空间)--例4.9，例4.354、向量组的秩及极大无关组(命题4.6，定理4.4及推论2)、(线性)子空间的基与维数(1)写成列向量作初等行变换，确定向量组的秩与极大无关组.(2)对于，则，即生成子空间的维数与基就是向量组的秩与极大无关组.5、坐标的概念、基变换公式与坐标变换公式坐标：在基下的坐标.基变换公式：坐标变换公式：或四、线性方程组(含参量、不含参量)1、解的情况(1)若是方阵，则(2)齐次线性方程组有非零解

5、.若是方阵，则齐次线性方程组有非零解.2、解的结构齐次：(1)解空间、基础解系所含向量的个数(2)基础解系不唯一，的线性无关的解均可作为的一个基础解系.(2)结构式：通解=基础解系的任意线性组合非齐次：(1)非-非=齐(2)结构式：通解=特解导出组的通解五、线性变换1、线性变换的验证(定义5.4)2、线性变换在一个基下的矩阵(定义5.7)、命题5.83、线性变换在不同基下的矩阵之间的关系(相似)定理5.9六、内积空间1、内积的概念、长度、正交(正交向量组必线性无关)2、施密特正交化3、正交矩阵(1)定义、性质；(2)阶实矩阵是

6、正交矩阵的充要条件是的列(行)向量组是的一个标准正交基.(命题6.2)七、矩阵的相似对角形1、特征值和特征向量的定义、性质(1)；(2)与具有相同的特征值(特征向量未必相同)；已知可逆)矩阵特征值特征向量(3)；.(4)属于不同特征值的特征向量线性无关(定理5.3、定理5.4及推论).2、相似矩阵的定义、性质(秩、行列式、迹、特征值相等，但特征向量未必相同)相似的判定：若与可对角化(实对称矩阵)，且与具有相同的特征值，则与相似.若与相似，则矩阵多项式与也相似.3、矩阵的相似对角化可对角化有个线性无关的特征向量数域内有个特征值，

7、每一个特征值的几何重数等于代数重数(充分条件)有个互不相同的特征值可对角化4、实对称矩阵(1)特征值：阶实对称矩阵有个实特征值.(2)特征向量：实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交.(3)实对称矩阵必正交相似于实对角矩阵(几何重数等于代数重数).(4)若与均为实对称矩阵，则与正交相似(相似)与具有相同的特征值.(正交相似既相似，又合同)八、二次型1、二次型的矩阵及秩((对称))2、矩阵的合同：合同必相抵；正交相似既相似，又合同实对称矩阵合同的正惯性指数与秩相同3、化二次型为标准形(不唯一)--正交替换法、配方法(满秩线性替

8、换)4、惯性定理：实二次型的规范形唯一(正、负惯性指数，符号差)5、正定二次型(1)判定：①定义；②的特征值都大于零(的正惯性指数等于)；③与合同(与正定矩阵合同的实对称矩阵正定)；④存在可逆矩阵，使得；⑤的所有顺序主子式都大于零(2)必要条件：；