高等数学(2)第10章多元函数微分学典型例题解析.doc

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1、高等数学（2）第10章多元函数微分学典型例题解析例1（1）函数的定义域为。（2）设函数，。（3）可微函数在点达到极值，则必有。解（1）因为函数的定义域应为：即且。应该填写：且（2）因为，所以。应该填写：（3）由极值存在的必要条件知，可微函数在点达到极值，则。应该填写：例2（1）设，求及。（2）设，求（3）设，求解（1）设，其函数关系如图xuzyv利用“连线相乘，分线相加”的原则，得到且有于是4由函数的全微分公式得=（2）因为=（3）[方法一]公式法：令则利用公式，得[方法二]因为方程有三个变量，所以只有两个变量是独立的，求时，将看成

2、的函数。即在方程两边同时对x求导，得解出，同理解出，4求时，是的函数，方程两边求导得：解出[方法三]利用微分形式的不变性和微分的运算求出全微分的同时，求出偏导数。所以，。若把微分式整理成：则例3（1）求曲面在出的切平面及法线方程。（2）求曲面上平行于平面的切平面方程。解（1）分析：由已知结论，曲面在点处切平面方程为：法线方程为：其中是函数在点处对三个自变量的偏导数，而切平面的法向量和法线的方向向量就是。因此，解题的关键是求出。曲面的法向量：,故切平面方程为：即法线方程为：（2）分析：要使曲面某点处的切平面平行与已知平面，就要使该点处

3、的法向量与已知平面的法向量平行。曲面的法向量为：而已知平面的法向量为4设所求切平面与曲面相切于，于是过该点的切平面的法向量为：因为切平面平行于已知平面，于是有//，即又知在曲面上，即，解联立方程得故所求切平面方程为：即例4在平面上求一点，使该点到原点和的距离平方和最小。解：设所求的点为（，则到原点和点的距离平方和为又因为点（在平面上，得到条件函数为解出由于只求出唯一驻点，又知一定存在平面上的点，该点到原点和定点的距离平方和最小，所以平面上的点到原点和点的距离平方和最小。4