数学物理方程考试说明.doc

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1、数学物理方程考试说明一典型方程和定解条件(一)教学内容1）三类典型方程（波动方程、热传导方程和位势方程）及其定解问题的提出；2）偏微分方程的一些基本知识与定值问题的适定性概念。重点：三类典型方程（波动方程、热传导方程和位势方程）及其定解问题，偏微分方程的一些基本知识与定值问题的适定性概念。难点：类典型方程（波动方程、热传导方程和位势方程）及其定解问题。(二)教学基本要求理解三类典型方程（波动方程、热传导方程和位势方程）及其定解问题的推导。了解并掌握偏微分方程的一些基本知识与定值问题的适定性概念。二分离变量法(一)教学内容(1)分离变量法的基本步骤；(2)非齐次方程齐次边界条件的固有

2、函数法；(3)非齐次边界条件的处理；重点：分离变量法的基本步骤、非齐次方程齐次边界条件的固有函数法、非齐次边界条件的处理。难点：非齐次方程齐次边界条件的固有函数法。(二)教学基本要求理解分离变量法的基本步骤、非齐次方程齐次边界条件的固有函数法、非齐次边界条件的处理。三积分变换法(一)教学内容(1)应用傅立叶变换法解微分方程定值问题；(2)拉普拉斯变换的概念和基本性质；(3)拉普拉斯变换法在解微分方程中的应用。重点：应用傅立叶变换法解微分方程定值问题；拉普拉斯变换的概念和基本性质，拉普拉斯变换法在解微分方程中的应用。难点：拉普拉斯变换法在解微分方程中的应用。(二)教学基本要求理解应用

3、傅立叶变换法解微分方程定值问题；拉普拉斯变换的概念和基本性质，拉普拉斯变换法在解微分方程中的应用。四行波法(一)教学内容(1)一维波动方程初值问题的达郎贝尔公式；(2)非齐次波动方程的齐次化原理。重点：一维波动方程初值问题的达郎贝尔公式；非齐次波动方程的齐次化原理。难点：一维波动方程初值问题的达郎贝尔公式。(二)教学基本要求理解并掌握一维波动方程初值问题的达郎贝尔公式；非齐次波动方程的齐次化原理。五格林函数法(一)教学内容(1)格林公式及其应用；(2)调和函数及其基本性质；(3)格林函数的概念及性质；(4)两种特殊函数区域的格林函数及狄利克雷问题的解。重点：格林公式及其应用，调和函

4、数及其基本性质，格林函数的概念及性质，两种特殊函数区域的格林函数及狄利克雷问题的解。难点：两种特殊函数区域的格林函数及狄利克雷问题的解。(二)教学基本要求理解并掌握格林公式及其应用，调和函数及其基本性质，格林函数的概念及性质，两种特殊函数区域的格林函数及狄利克雷问题的解。六二阶线性偏微分方程的分类与小结(一)教学内容(1)两个变量的二阶线性方程；(2)个变量的二阶线性方程；(3)小结。重点和难点：两个变量的二阶线性方程，个变量的二阶线性方程。(二)教学基本要求理解并掌握两个变量的二阶线性方程，个变量的二阶线性方程。七偏微分方程的差分法(一)教学内容(1)抛物型方程的差分法；(2)双

5、曲型方程的差分法；(3)椭圆型方程的差分法。(二)教学基本要求理解并掌握抛物型方程的差分法、双曲型方程的差分法、椭圆型方程的差分法。例题解析一设，求其付立叶变换。解：＝＝＝＝＝由于作为的函数在整个复平面上解析。且当时　，它趋于0，帮在以实轴为其一边的矩形上应用柯西定理得：＝＝＝＝二将定解问题的边界条件齐次化。（14分）解：令，选取，使。由此可得：将上式对求积分，即得：此时，新的未知函数即满足齐次边界条件。三求满足的所有形如的非零特解。解：　把代入方程，得：即有：两边对求导，得：由此可见（常数）。于是：。因此，得：。由于，故有：。因，故，由边界条件可得：。解特征值问题。得到及解常微分

6、方程：。其特征方程有两个二重根，于是故所求的全部特解为：＝。四求解电报方程的混合问题：其中为正数，满足。解：根据初始条件，采用对变量取拉氏变换的方法。记，。在方程两端取拉氏变换，有解得的通解为＝。由有界知：亦有界，因此有＝0，再对边界条件取拉氏变换，有这样知，由此得到：＝利用拉氏变换的延迟性质，得＝。