数值计算方法习题答案习题四矩阵三角分解.doc

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1、《计算方法》习题四　　　　　　　　　　吉林大学朝阳校区　环境与资源学院　水文与水资源专业丁元芳（男）　20046420011.用Gauss消去法解方程组　　　　　　　　　解：设将方程组改写为　　　　　　　　　　　　　将得，　　　　　　　　　　　将得，　　由此回代解出　2.用Gauss列主元消去法解方程组　　　　　　　解：选择列主元，得　　　　　　　　　由消去法得　　　　　　　　　再得　　　　　　　　　解得　3.举例说明一个非奇异矩阵不一定存在LU分解。　解：设显然A是非奇异矩阵，若A存在LU分解，则　　　　　　比较两边，有则或者　　　　若则可知其与相矛盾；　　

2、　　若则可知其与相矛盾。　　　所以可知不存在LU分解。4.下列矩阵能否分解为LU（其中L为单位下三角矩阵，U为上三角矩阵）？若能分解，那么分解是否唯一？　　　　　解：设A能分解，则有　　　　　　由分解公式可知，　　　　但与相矛盾，　　　因此A不能进行LU分解。　　　　　　设B能分解，则有　　　　　　　由分解公式可知，　　　　但得　　可知可任意选择，　　　因此B能进行LU分解，但分解并不唯一。　　　　　　对矩阵C来说，其顺序主子式分别为　　　　　则由矩阵的LU分解的定理1.3可知，C可分解为一个单位下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，且这种分解是唯一的。5.对

3、下面给定的矩阵A作LU分解，并利用分解结果计算　　　　　　　　　　　解：6.用Doolittle分解法解方程组　　　　　　　　　　　　　解：用分解公式计算得　　　　　　　　　　　　　求解　　　　　　得　　　　　　　得　7.用Crout分解法解方程组　　　　　解：用Crout分解公式计算得　　　　　　　　计算　　　　　　得　　　　计算　　　　　　　　得　8.用平方根法求解方程组　　　　　　　　　　解：将A分解为LLT的形式　　　　　　　　　　计算　　　　　　得　　　　计算　　　　　　　得　9.求改进的平方根法求解下列方程组　　　　　　　　　　　　　解：（1）将A

4、分解为LDLT形式　　　　　　　　　依次解方程组　　　　　　　　得　　　　　　解方程组　　　　　　　　　　　解　　　　　　解方程组　　　　　　　　　解　　　（2）将A分解为LDLT形式　　　　　　　　　依次解方程组　　　　　　　　得　　　　　　解方程组　　　　　　　　　　　解　　　　　　解方程组　　　　　　　　　解　10.用追赶法求解三对角方程组　　　　　　　解：将A分解为LU的形式　　　　　　　解方程组　得到　　　　　再解方程组　求得　11.已知求　解：　　　　　　12．已知求解：　　　　　　　　13.求证　　　　　　解：　　　　　因此有　　　由　　　　　　

5、从而有　　　　又由　　　　　　因为矩阵的特征值之和等于其对角元素之和，因此由上式可得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　从而有　　　　　综上可证得　14.设计算A的条件数解：　因A是实对称正定矩阵，所以　　　由　　　解得　　因此　因则　　　　　　因此　15.设矩阵A非奇异，求证证明：因　故　　　于是有16.设矩阵A可逆，为误差，试证当也可逆。证明：　　　因当时，可知可逆，　　　则　　　　故从而矩阵可逆。17.设有方程组其中　　　　　　　已知它有解如果右端有小扰动试估计由此引起的解的相对误差。　解：则　　　　　　　因此　　　　由定

6、理3.9可得　　　　　　　　　　　　　　18.设其中为非奇异矩阵，证明：　为对称正定矩阵；　　解：　因　可得是对称矩阵；　　　　　因A为非奇异矩阵，因此A线性无关。对任一给定n维向量恒有可得是正定矩阵。综上，可证得为对称正定矩阵。