数列求和及数列实际问题考点讲解和习题训练.doc

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1、普通高中课程标准实验教科书—数学[人教版]高三新数学第一轮复习教案（讲座30）—数列求和及数列实际问题一．课标要求：1．探索并掌握一些基本的数列求前n项和的方法；2．能在具体的问题情境中，发现数列的数列的通项和递推关系，并能用有关等差、等比数列知识解决相应的实际问题。二．命题走向数列求和和数列综合及实际问题在高考中占有重要的地位，一般情况下都是出一道解答题，解答题大多以数列为工具，综合运用函数、方程、不等式等知识，通过运用逆推思想、函数与方程、归纳与猜想、等价转化、分类讨论等各种数学思想方法，这些题目都考察考

2、生灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，它们都属于中、高档题目。有关命题趋势：1．数列是一种特殊的函数，而不等式则是深刻认识函数和数列的有效工具，三者的综合题是对基础和能力的双重检验，在三者交汇处设计试题，特别是代数推理题是高考的重点；2．数列推理题是将继续成为数列命题的一个亮点，这是由于此类题目能突出考察学生的逻辑思维能力，能区分学生思维的严谨性、灵敏程度、灵活程度；3．数列与新的章节知识结合的特点有可能加强，如与解析几何的结合等；4．有关数列的应用问题也一直备受关注。预测2007年高考对本将的考察为：

3、1．可能为一道考察关于数列的推导能力或解决生产、生活中的实际问题的解答题；2．也可能为一道知识交汇题是数列与函数、不等式、解析几何、应用问题上等联系的综合题，以及数列、数学归纳法等有机结合。三．要点精讲1．数列求通项与和（1）数列前n项和Sn与通项an的关系式：an=。（2）求通项常用方法①作新数列法。作等差数列与等比数列；②累差叠加法。最基本的形式是：an=(an－an－1)+(an－1+an－2)+…+(a2－a1)+a1；③归纳、猜想法。（3）数列前n项和①重要公式：1+2+…+n=n(n+1)；12+

4、22+…+n2=n(n+1)(2n+1)；13+23+…+n3=(1+2+…+n)2=n2(n+1)2；②等差数列中，Sm+n=Sm+Sn+mnd；③等比数列中，Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn；④裂项求和将数列的通项分成两个式子的代数和，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加抵消掉中间的许多项，这种先裂后消的求和法叫裂项求和法。用裂项法求和，需要掌握一些常见的裂项，如：、=－、n·n！=(n+1)!－n!、Cn－1r－1=Cnr－Cn－1r、=－等。⑤错项相消法对一个由等差数列及等比数列对应项之积

5、组成的数列的前n项和，常用错项相消法。,其中是等差数列，是等比数列，记，则，…⑥并项求和把数列的某些项放在一起先求和，然后再求Sn。数列求通项及和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。⑦通项分解法：2．递归数列数列的连续若干项满足的等量关系an+k=f(an+k－1,an+k－2,…,an)称为数列的递归关系。由递归关系及k个初始值可以确定的一个数列叫做递归数列。如由an+1=2an+1，及a1=1，确定的数列即为递归数列。递归数列的通项的求法一般说来有以下几种：（1）归纳、猜想、数学归纳法证明。（2）迭

6、代法。（3）代换法。包括代数代换，对数代数，三角代数。（4）作新数列法。最常见的是作成等差数列或等比数列来解决问题。四．典例解析题型1：裂项求和例1．已知数列为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，求和：。解析：首先考虑，则=。点评：已知数列为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，下列求和也可用裂项求和法。例2．求。解析：，点评：裂项求和的关键是先将形式复杂的因式转化的简单一些。题型2：错位相减法例3．设a为常数，求数列a，2a2，3a3，…，nan，…的前n项和。解析：①若a=0时，Sn=0；②若a=1，则

7、Sn=1+2+3+…+n=；③若a≠1，a≠0时，Sn-aSn=a（1+a+…+an-1-nan），Sn=。例4．已知，数列是首项为a，公比也为a的等比数列，令，求数列的前项和。解析：，①-②得：，点评：设数列的等比数列，数列是等差数列，则数列的前项和求解，均可用错位相减法。题型3：倒序相加例5．求。解析：。①又。②所以。点评：Sn表示从第一项依次到第n项的和，然后又将Sn表示成第n项依次反序到第一项的和，将所得两式相加，由此得到Sn的一种求和方法。例6．设数列是公差为，且首项为的等差数列，求和：解析：因为，

8、，。点评：此类问题还可变换为探索题形：已知数列的前项和，是否存在等差数列使得对一切自然数n都成立。题型4：其他方法例7．求数列1，3+5，7+9+11，13+15+17+19，…前n项和。解析：本题实质是求一个奇数列的和。在该数列的前n项中共有个奇数，故。例8．求数列1，3＋，32＋，……，3n＋的各项的和。解析：其和为(1＋3＋……＋3n)＋(＋……＋)==(3n＋1－3-n)。题型5：数列综合问