初中数学解题方法之反证法专题.doc

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1、反证法专题复习对于一个几何命题，当用直接证法比较困难时，则可采用间接证法，反证法就是一种间接证法，它不是直接去证明命题的结论成立，而是去证明命题结论的反面不能成立。从而推出命题的结论必然成立，它给我们提供了一种可供选择的新的证题途径，掌握这种方法，对于提高推理论证的能力、探索新知识的能力都是非常必要的。一真题链接1.用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD交于点P，且AB、CD不是直径.求证：弦AB、CD不被P平分.2.平面内有四个点，没有三点共线，证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角

2、三角形3.平面内有四个点，没有三点共线证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形二名词释义反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于

3、；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。例如：已知：是整数，2能整除。试证：2能整除①探究：问题实际上是在讨论是奇数，还是偶数。已知中：说明是偶数，则，此时②反思：条件已用完，结论还不能明确得证，可

4、能结论自身有问题。③若结论有问题，则“2不能整除”应该成立，此时会发生怎样的情况，进行推理引出反证法。总结：在上题由“2不能整除”这个假设下，推理出了矛盾，肯定了原题的结论，从而说明了这种思想可以作为一种证明问题的方法，再通过问题2继续认识。三典型例题反证法的证题步骤：①假设。假设结论的反面成立，重点完成对假设的等价转化②归结矛盾。矛盾来源：与已知，定理，公理，已证，已作，矛盾。③否定假设，肯定结论。例1.求证：是无理数证明：假设不是无理数，即是有理数，那么它就可以表示成两个整数之比，设且互素，则。所以，。---------①故是偶数，也必

5、然为偶数。不妨设，代入①式，则有，即，所以，也为偶数。和都是偶数，它们有公约数2，这与互素相矛盾。这样，不是有理数，而是无理数。PMQcab例2.在同一平面内，两条直线都和直线垂直。求证：与平行。证明：假设命题的结论不成立，即“直线与相交”。不妨设直线的交点为,与的交点分别为,如图所示，则.这样，的内角和这与定理“三角形的内角和等于”相矛盾。说明假设不成立。所以，直线与不相交，即与平行。例3．已知：在四边形ABCD中，M、N分别是AB、DC的中点，且MN＝（AD＋BC）。求证：AD∥BC证明：假设ADBC，连结ABD，并设P是BD的中点，再

6、连结MP、PN。在△ABD中　　　　　　　∵BM＝MA，BP＝PD　　　　　　　∴MPAD，同理可证PNBC　　　　　　　从而MP＋PN＝（AD＋BC）　①　　　　　　　这时，BD的中点不在MN上　　　　　　　若不然，则由MN∥AD，MN∥BC，得AD∥BC与假设ADBC矛盾，　　　　　　　于是M、P、N三点不共线。　　　　　　　从而MP＋PN＞MN　②　　　　　　　由①、②得（AD＋BC）＞MN，这与已知条件MN＝（AD＋BC）　　　　　　　相矛盾，　　　　　　　故假设ADBC不成立，所以AD∥BC。解析：反证法是根据“正难则反”的原理，

7、即如果正面证明有困难时，或者直接证明需要分多种情况而反面只有一种情况时，可以考虑用反证法。反证法不仅在几何中有着广泛的应用，而且在代数中也经常出现。用反证法证明不等式就是最好的应用。要证明不等式A＞B，先假设A≤B，然后根据题设及不等式的性质，推出矛盾，从而否定假设。要证明的不等式中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法往往立见奇效。四巩固强化1.设a，b，c，d均为正数，求证：下列三个不等式①a＋b＜c＋d，②，③中至少有一个不正确。2.已知求证：。3.若

8、，求证：。4.设a，b，c均为小于1的正数，求证：，不能同时大于。5.若，，，求证：，不能同时大于1。6求证：三角形中至少有一个角不大于60°。7求证：一直线的垂线与斜线必相交。