数学竞赛定理.doc

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1、欧拉小定理：同一三角形的垂心、重心、外心，九点圆圆心四点共线，这条直线称为三角形的欧拉线；且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半，九点圆圆心到垂心与重心距离相等。欧拉大定理：△ABC的外接圆圆心为O，半径为R，内切圆圆心为I，半径为r,记OI=d,则有：d2=R2-2Rr九点圆：任意三角形三边的中点，三高的垂足及三顶点与垂心间线段的中点，共九个点共圆，这个圆称为三角形的九点圆；其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点，其半径等于三角形外接圆半径的一半。费尔马点：已知P为锐角△ABC内一点，当∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°时，PA＋PB＋PC的

2、值最小，这个点P称为△ABC的费尔马点。海伦公式：在△ABC中，边BC、CA、AB的长分别为a、b、c，若p＝（a＋b＋c），则△ABC的面积S＝塞瓦定理：在△ABC中，过△ABC的顶点作相交于一点P的直线，分别交边BC、CA、AB与点D、E、F，则密格尔定理：若AE、AF、ED、FB四条直线相交于A、B、C、D、E、F六点，构成四个三角形，它们是△ABF、△AED、△BCE、△DCF，则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点。葛尔刚定理:△ABC的内切圆分别切边AB、BC、CA于点D、E、F，则AE、BF、CD三线共点，这个点称为葛尔刚点。西姆

3、松定理：已知P为△ABC外接圆周上任意一点，PD⊥BC，PE⊥ACPF⊥AB，D、E、F为垂足，则D、E、F三点共线，这条直线叫做西摩松线。笛沙格定理：已知在△ABC与△A'B'C'中，AA'、BB'、CC'三线相交于点O，BC与B'C'、CA与C'A'、AB与A'B'分别相交于点X、Y、Z，则X、Y、Z三点共线摩莱三角形：在已知△ABC三内角的三等分线中，分别与BC、CA、AB相邻的每两线相交于点D、E、F，则三角形DDE是正三角形，这个正三角形称为摩莱三角形。帕斯卡定理：已知圆内接六边形ABCDEF的边AB、DE延长线交于点G，边BC、EF延长线交

4、于点H，边CD、FA延长线交于点K，则H、G、K三点共线托勒密定理：在圆内接四边形中，此四边形对角线的乘积等于两组对边的乘积之和布拉美古塔定理：在圆内接四边形ABCD中，若对角线相互垂直，则自对角线的交点向一边作垂线，其延长线必平分对边梅捏劳斯定理：在△ABC中，边BC、CA、AB或其延长线被同一条直线截于点D、E、F，则帕普斯定理：若蝴蝶定理：圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点四边形蝴蝶定理：若四边形一条对角线平分另一对角线，则过其交点的两条直线，以四边交点（邻边）的连线，与被平分的对角

5、线的两个交点到对角线焦点距离相等拿破仑定理：1、以任意三角形的三条边为边,向外构造三个等边三角形,则这三个等边三角形的外接圆中心恰为中心等边三角形的顶点2、三角形ABC中,向三边分别向外侧作正三角形，然后把这三个正三角形的中心连结起来所构成的一定是正三角形.3、若以任意三角形的各边为底边向形外作底角为30°的等腰三角形，则它们的顶点构成一个等边三角形凡·奥贝尔定理：在任意一个凸四边形中，以各边为边分别向外部做正方形，将相对的正方形的中心连起，得出两条线段。线段的长度相等且垂直中线定理：在△ABC中，点K为边BC中点,BK+KC，则AB^2+AC^2=2

6、*(AK^2+BK^2)斯台沃特定理：任意三角形ABC中，D是底边BC上一点，连结AD，则有AB^2*CD+AC^2*BD-AD^2*BC=BD*CD*AD广勾股定理：1、锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍2、钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍3、平行四边形两条对角线的平方和等于四边的平方和4、△ABC三边长分别为a、b、c，对应边上中线长分别为ma、mb、mc则：ma=；mb=；mc=阿基米德折弦定理：AB和BC是⊙O的两条弦（即ABC是圆的一条

7、折弦），BC＞AB，M是弧ABC的中点，则从M向BC所作垂线之垂足G是折弦ABC的中点，即AB＋BG＝GC内角平分线定理：△ABC中∠A的平分线交边BC于D，∠1=∠2，则有外角平分线定理：△ABC中∠A外角的平分线交边BC的延长线于D，∠1=∠2，则有三角形位似心定理：如图，若△ABC与△DEF位似，则通过对应点的三直线AD、BE、CF共点于P正弦定理：在△ABC中有（R为△ABC外接圆半径）余弦定理：a、b、c为△ABC的边，则有：1、a2=b2+c2-2bc·cosA2、b2=a2+c2-2ac·cosB3、c2=a2+b2-2ab·cosC正切

8、定理：a、b、c为△ABC的边，∠A=α,∠B=β,则有(a+b)/(a-b)=tan((α+