3.2 正态总体参数检验

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1、3.2正态总体的参数检验正态总体N(,2)有两个重要参数均值和方差2，在实际应用中常会用到单正态总体均值与方差的检验，以及两个正态总体均值与方差的比较问题.第3章假设检验3.2.1单正态总体均值与方差的检验1.单正态总体均值的检验设X～N(,2),X1,X2,…,Xn为来自X的样本,x1,x2,…,xn为样本观测值,对均值的检验一般有下面三种形式(1)双边检验H0:=0H1:0(2)左边检验H0:0H1:<0(3)右边检验H0:0H1:>0其中0为已知常数.

2、下面分两种情况给出H0的拒绝域:(1)2为已知的情况由3.1.1知,三种检验的检验统计量均可采用在显著水平下，H0的拒绝域分别为：3.2.1单正态总体均值与方差的检验(2)2为未知的情况当2未知时，由于中含有未知的，不能再作为检验统计量．考虑S2是2的无偏估计,且由定理6.3知所以，改用作为检验统计量，类似2已知的情形，在显著水平下，上面三种检验的拒绝域分别为：这三种检验称为均值的Z检验．3.2.1单正态总体均值与方差的检验【例3.3】某车间生产铜丝，其主要质量指标是折断力的大小．用X表

3、示该车间生产的铜丝的折断力．根据过去的资料看，可以认为X～N(285，4)．为提高折断力,今换一种原材料,估计方差不会有多大变化.现抽取10个样品,测得折断力（单位:kg）为：289,286,285,284,286,285,285,286,298,292.在0.05的显著水平下，检验折断力是否显著变大？解：按题意已知方差2=16，需检验H0:285H1:>285此为右边检验．3.2.1单正态总体均值与方差的检验解：按题意已知方差2=16，需检验H0:285H1:>285此为右边检验．由于

4、方差已知，应选用Z检验在显著水平=0.05下，H0的拒绝域为：其中0=285由样本观测值计算得落入拒绝域中，故在0.05的显著水平下应拒绝H0,认为折断力显著变大.3.2.1单正态总体均值与方差的检验【例3.4】某元件使用寿命不得低于1000(小时)，现从一批元件中随机抽取25件，测得其寿命样本均值为950，样本标准差为100．已知该种元件的寿命服从正态分布，试问在0.05的显著水平下是否可以认为这批元件合格?解：按题意需检验H0:1000H1:<1000由于方差未知,选用t检验,在显著水平

5、=0.05下H0的拒绝域为左边检验3.2.1单正态总体均值与方差的检验解：按题意需检验H0:1000H1:<1000由于方差未知,选用t检验,在显著水平=0.05下H0的拒绝域为现由n=25,,s=100,得可知t落入拒绝域中，故在0.05的显著水平下应拒绝H0,认为这批元件不合格．8.2.1单正态总体均值与方差的检验【例3.5】某地区100个登记死亡人的样本中，其平均寿命为71.8年，标准差为8.9，试问这是否暗示现在这个地区人的平均寿命不低于70岁（=0.05）？解：按题意需检验H0:

6、70H1:<70由于方差未知，选用t检验，在显著水平=0.05下，H0的拒绝域为由n=100，，s=8.6,得：t未落入拒绝域,故在0.05的显著水平下,没有足够理由拒绝H0,可以认为这个地区人的平均寿命不低于70岁．左边检验8.2.1单正态总体均值与方差的检验2.单正态总体方差的检验设X～N(，2)，X1,X2,…,Xn为来自X的样本，x1,x2,…,xn为样本观测值对方差2的检验一般有下面三种形式:1)双边检验2)右边检验3)左边检验其中为已知常数．3.2.1单正态总体均值与方差的检验下面

7、仅对未知的情形讨论上面三种检验.先看双边检验:当H0真时,,由定理6.3所以对给定的小概率,由图8-5易知即是小概率事件．所以可取作为检验统计量，所以,H0的拒绝域为：已知情形的汇总在表8-1中3.2.1单正态总体均值与方差的检验再看右边检验由于X～N(，2)，，所以对给定的小概率，由图8-6易知当原假设成立时，由于所以3.2.1单正态总体均值与方差的检验由于即是小概率事件,可以取作为检验统计量,在显著水平下，H0的拒绝域为：3.2.1单正态总体均值与方差的检验同样的思路，对于左边检验仍可

8、以选用作为检验统计量，并且容易推出在显著水平下H0的拒绝域为：上述三种检验称为方差的2检验.单正态总体N(μ,2)均值μ和方差2的检验方法汇总于表8.1．3.2.1单正态总体均值与方差的检验【例3.6】某厂生产某种型号的电池，长期以来寿命X～N(，5000)，现有一批这种电池，从它的情况看寿命的波动性有所改变，随机抽取26只电池，测出其寿命的样本方差为9000（小时）．试在0.05的显著水平下，检验这批电池寿命的波动性较以往是否有