2011走向高考数学4-6

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1、●基础知识一、三角函数最值的基本问题1．函数y＝sinx当且仅当x＝时取得最大值，当且仅当x＝时取得最小值；函数y＝Asin(wx＋φ)(A＞0)，当且仅当x＝时取得最大值，当且仅当x＝时取得最小值.1－1A－A2．函数y＝cosx当且仅当x＝2kπ(k∈Z)时取得最大值；当且仅当x＝时取得最小值；函数y＝Acos(wx＋φ)(A＞0)，当且仅当x＝时取得最大值，当且仅当x＝时取得最小值.2kπ－π－11A－A3．函数y＝asinx＋bcosx的最大值是，最小值是.二、三角函数最值问题的五大题型1．可转化为利用正

2、、余弦函数的有界性求解的最值问题．主要有以下两种类型：①可将函数式化为y＝Asin(wx＋φ)的形式求解的问题，形如y＝或者形如y＝的函数适用．2．可转化为求二次函数y＝at2＋bt＋c(a≠0)在闭区间[－1,1]上的最值问题，典型的是：①形如(a≠0)的最值；②形如的最值；3．转化为可利用均值不等式求解的最值问题，例如①函数y＝sinx＋的最值；②某些带约束(隐含)条件的最值．4．利用其它方法求解的最值问题(如利用单调性、判别式、图象法等)．5．含参数的逆向思考的问题．y＝asin2x＋bsinx＋cy＝A(

3、sinx＋cosx)＋Bsinxcosx三、三角函数应用问题的特点和处理方法1．三角函数的实际应用是指：用三角函数理论解答生产、科研和日常生活中的实际问题．2．三角函数应用题的特点是：(1)实际问题的意义反应在三角形中的边、角关系上，这样的三角形有直角三角形、斜三角形，有时一个问题中既有直角三角形又有斜三角形；(2)函数的模型多种多样，有三角函数、代数函数，有时同一个问题中三角函数与代数函数并存．3．解决三角函数应用问题和解决一般应用性问题一样，先建模，再讨论变量的性质，最后作出结论并回答问题．●易错知识一、求值

4、域失误．1．若

5、x

6、≤函数f(x)＝cos2x－sinx的最小值为____．二、换元时不注意新元范围易出错．2．已知sinx＋siny＝，求siny－cos2x的最小值和最大值．思路点拨：可把siny＝－sinx代入所求式，然后转化为三角函数与二次函数复合的函数，然后利用二次函数求最值的方法求解．方法技巧：一定要求换元后变量的范围，有时范围是明显的，但有时是隐含的，如本题，此时更应挖掘隐含条件．温馨提示：常见以下错解：●回归教材答案：B2．函数y＝sinx＋cosx的最大值为________．答案：23．已知函数

7、f(x)＝sin(πx＋θ)cos(πx＋θ)在x＝3时取得最大值，则θ的一个值可以是()答案：B5．函数y＝sin2x＋2cosx在区间上最小值为－，则α的取值范围是________．【例1】求下列函数的值域：(1)y＝tanx(

8、x

9、≤1)；(4)y＝sin2x＋2sinxcosx＋3cos2x；[分析]三角函数属于初等函数，因而前面学过的求函数值域的一般方法，也适用于三角函数．但涉及正弦、余弦函数的值域时，应注意正弦、余弦函数的有界性，即

10、sinx

11、≤1，

12、cosx

13、≤1对值域的影响．[解答](1)由正切函

14、数y＝tanx的图象(图略)．可知，当

15、x

16、≤1时，函数y＝tanx在[－1,1]上为增函数，因此y＝tanx的值域是：[－tan1，tan1]．答案：B(2009·天津河东)函数f(x)＝sin4x＋2sinxcosx＋cos4x的最小值是()答案：C【例2】(2008·福建，17)已知向量m＝(sinA，cosA)，n＝(1，－2)，且m·n＝0.(1)求tanA的值；(2)求函数f(x)＝cos2x＋tanAsinx(x∈R)的值域．[解析](1)由题意得m·n＝sinA－2cosA＝0，因为cosA≠0，

17、所以tanA＝2.(2)由(1)中tanA＝2，得f(x)＝cos2x＋2sinx＝1－2sin2x＋2sinx因为x∈R，所以sinx∈[－1,1]．当sinx＝－1时，f(x)有最小值－3，(1)求函数f(x)的解析式，并求当a>0时函数f(x)的单调增区间；本节知识应用广泛，不仅应用于物理、化学、机械化等各学科，在日常生活、生产中也有广泛应用，此类问题的关键是选择适当的角作自变量，建立三角函数模型，利用三角函数求最值的方法解决问题．【例3】(05·辽宁，12分)如图，在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称，邻

18、边互相垂直的十字形，其中y＞x＞0.(1)将十字形的面积表示为θ的函数；(2)θ为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？[解析](1)设S为十字形的面积，则S＝2xy－x2＝2sinθcosθ－cos2θ[总结评述]必要的转化变形为模式的套用铺平道路．设法将已知条件适当转化成能直接运用公式asinθ＋bcosθ＝sin(θ＋φ)求解最值是解答本题的关键，运用此公式还可