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1、01-02学年第二学期《几何与代数》期终试题解答一(30%)填空题:1.设a=(1,2),b=(1,-1),则abT=-1;aTb=;(aTb)100=.2.设矩阵A=,B=,则行列式
2、AB-1
3、=-1/70.3.若向量组a1,a2,a3线性无关,则当参数k¹1时,a1-a2,ka2-a3,a3-a1也线性无关.4.矩阵A=的伴随矩阵A*=.5.设矩阵A及A+E均可逆,且G=E-(A+E)-1(其中E表示单位矩阵),则G-1=E+A-1.6.与向量a=(1,0,1),b=(1,1,1)均正交的单位向量
4、为.7.四点A(1,1,1),B(1,1,x),C(2,1,1),D(2,y,3)共面的充分必要条件是x=1或y=1.8.设实二次型f(x1,x2,x3)=x12+kx22+2x2x3+x32,则当k满足条件k>1时,为f(x1,x2,x3)=1是椭球面;则当k满足条件k=1时,为f(x1,x2,x3)=1是柱面.二(8%)记p1为由曲线绕z-轴旋转所产生的旋转曲面,p2为以p1与平面p3:x+y+z=1的交线为准线,母线平行于z-轴的柱面.试给出曲面p1及p2的方程,并画出p1被p3所截有界部分在x
5、Oy平面上的投影区域的草图(应标明区域边界与坐标轴的交点).解:p1的方程为z=x2+y2-3.联立,消去z得p2的方程:x2+y2+x+y-4=0.p2在xOy平面上的投影曲线的方程为.p1被p3所截有界部分在xOy平面上的投影区域的草图如下面的右图所示:Oxyp1与p3p1,p2,p3所求的投影区域三(8%)求经过直线且与xOy平面垂直的平面方程.解:(法一)设所求的平面方程为(x+2y-z-2)+l(-x+y-2z-1)=0,即(1-l)x+(2+l)y-(1+2l)z-(2+l)=0因为它与x
6、Oy平面垂直,所以其法向量{(1-l),(2+l),(1+2l)}与向量{0,0,1}垂直.因而1+2l=0,即l=-1/2.于是得所求平面的方程:,化简得:x+y=1.(法二)直线的方向向量可取为={-3,3,3}.所求平面的法向量应垂直于{-3,3,3}和{0,0,1},因而可取为={3,3,0}.在直线上取一点(0,1,0),由此可得所求平面的方程:3x+3(y-1)=0.化简得:x+y=1.(法三)所求平面为直线到xOy平面上的投影平面.因而从中消去z,得x+y=1.这就是所求平面的方程.四(
7、12%)求矩阵方程XA=2X+B的解,其中A=,B=.解:(法一)原方程可化为X(A-2E)=B,其中E表示单位矩阵.A-2E=.A-2E的行列式
8、A-2E
9、=-1,伴随矩阵(A-2E)*=.因而(A-2E)-1=.于是X=B(A-2E)-1==.(注意X未必等于(A-2E)-1B!)(法二)原方程可化为X(A-2E)=B,其中E表示单位矩阵.A-2E=.初等列变换==.于是X=B(A-2E)-1=.五(12%)设线性方程组.1.问:当参数p,q满足什么条件时,方程组无解;有唯一解;有无穷多解?2.当
10、方程组有无穷多解时,求出其通解.初等行变换解:[A,b]==.由此可见,当参数p=-2且q¹-1时,秩(A)=2,而秩[A,b]=3,此时方程组无解;当参数p¹-2时,秩(A)=4,此时方程组有唯一解;当参数p=-2且q=-1时,秩(A)=秩[A,b]=2,此时方程组无穷多解,´(-1)=由此可得方程组的通解,即=c1+c2+(c1,c2为任意数).六(12%)设矩阵A=.已知秩(A)=2.1.求参数k的值;2.求一个4´2矩阵B,使得AB=O,且秩(B)=2;3.问是否存在秩大于2的矩阵M使得AM=
11、O?为什么?初等行变换解:.因为秩(A)=2,所以参数k=0.此时可得齐次线性方程组Ax=q的一个基础解系:x1=,x2=.于是可取矩阵B=使得AB=O,且秩(B)=2.由于任何一个满足AM=O的矩阵M的列向量组都可以由x1,x2线性表示,所以这样的矩阵M的秩一定£2.因而不存在秩大于2的矩阵M使得AM=O.七(12%)设实对称矩阵A=与B=相似.1.求参数k,l的值;2.求一正交阵Q,使得QTAQ=B.解:1.因为实对称矩阵A与B相似,所以-k=
12、A
13、=
14、B
15、=l且k=迹(A)=迹(B)=2+l.由
16、此可得k=1,l=-1.2.
17、lE-A
18、==(l-1)2(l+1),由(E-A)x=q可得A的对应于l=1的两个特征向量x1=[1,0,1]T,x2=[0,1,0]T,由(-E-A)x=q可得A的对应于l=-1的一个特征向量x3=[1,0,-1]T,令Q=,则Q为正交阵且QTAQ=B.八(6%)已知n阶方阵A相似于对角阵,并且A的特征向量均是矩阵B的特征向量.证明:AB=BA.证明:因为n阶方阵A相似于对角阵,所以A有n个线性无关的特征向量,设为p1,p
