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1、☆五心总结范文 【一些结论】以下皆是向量1若P是△ABC的重心PA+PB+PC=02若P是△ABC的垂心PA?PB=PB?PC=PA?PC(内积）3若P是△ABC的内心aPA+bPB+cPC=0(abc是三边）4若P是△ABC的外心
2、PA
3、?=
4、PB
5、?=
6、PC
7、?（AP就表示AP向量
8、AP
9、就是它的模）5AP=λ（AB/
10、AB
11、+AC/
12、AC
13、),λ∈[0,+∞)则直线AP经过△ABC内心6AP=λ（AB/
14、AB
15、cosB+AC/
16、AC
17、cosC),λ∈[0,+∞)经过垂心7AP=λ（AB/
18、AB
19、sinB+AC/
20、AC
21、sinC),λ∈[0,+∞）或AP=λ(AB
22、+AC),λ∈[0,+∞)经过重心8.若aOA=bOB+cOC,则0为∠A的旁心,∠A及∠B,C的外角平分线的交点【以下是一些结论的有关证明】1.O是三角形内心的充要条件是aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量充分性已知aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量，延长CO交AB于D，根据向量加法得OA=OD+DA,OB=OD+DB,代入已知得a(OD+DA)+b(OD+DB)+cOC=0,因为OD与OC共线，所以可设OD=kOC,上式可化为(ka+kb+c)OC+(aDA+bDB)=0向量,向量DA与DB共线，向量OC与向量DA、DB不共线，所以只能有ka+kb+c
23、=0，aDA+bDB=0向量,由aDA+bDB=0向量可知DA与DB的长度之比为b/a,所以CD为∠ACB的平分线，同理可证其它的两条也是角平分线。 必要性已知O是三角形内心,设BO与AC相交于E，CO与AB相交于F，∵O是内心∴b/a=AF/BF，c/a=AE/CE过A作CO的平行线，与BO的延长线相交于N，过A作BO的平行线，与CO的延长线相交于M，所以四边形OMAN是平行四边形根据平行四边形法则，得向量OA=向量OM+向量ON=(OM/CO)*向量CO+(ON/BO)*向量BO=(AE/CE)*向量CO+(AF/BF)*向量BO=(c/a)*向量CO+(b/a)
24、*向量BO∴a*向量OA=b*向量BO+c*向量CO∴a*向量OA+b*向量OB+c*向量OC=向量02.已知△ABC为斜三角形,且O是△ABC所在平面上的一个定点,动点P满足向量OP=OA+入{(AB/
25、AB
26、＾2*sin2B)+AC/(
27、AC
28、＾2*sin2C)},求P点轨迹过三角形的垂心OP=OA+入{(AB/
29、AB
30、＾2*sin2B)+AC/(
31、AC
32、＾2*sin2C)},OP-OA=入{(AB/
33、AB
34、＾2*sin2B)+AC/(
35、AC
36、＾2*sin2C)},AP=入{(AB/
37、AB
38、＾2*sin2B)+AC/(
39、AC
40、＾2*sin2C)},AP?BC=入{(
41、AB?BC/
42、AB
43、＾2*sin2B)+AC?BC/(
44、AC
45、＾2*sin2C)},AP?BC=入{
46、AB
47、?
48、BC
49、cos(180°-B)/(
50、AB
51、＾2*sin2B)+
52、AC
53、?
54、BC
55、cosC/(
56、AC
57、＾2*sin2C)},AP?BC=入{-
58、AB
59、?
60、BC
61、cosB/(
62、AB
63、＾2*2sinBcosB)+
64、AC
65、?
66、BC
67、cosC/(
68、AC
69、＾2*2sinCcosC)},AP?BC=入{-
70、BC
71、/(
72、AB
73、*2sinB)+
74、BC
75、/(
76、AC
77、*2sinC)},根据正弦定理得
78、AB
79、/sinC=
80、AC
81、/sinB,所以
82、AB
83、*sinB=
84、AC
85、*sinC∴-
86、
87、BC
88、/(
89、AB
90、*2sinB)+
91、BC
92、/(
93、AC
94、*2sinC)=0，即AP?BC=0，P点轨迹过三角形的垂心3.OP=OA+λ(AB/(
95、AB
96、sinB)+AC/(
97、AC
98、sinC))OP-OA=λ(AB/(
99、AB
100、sinB)+AC/(
101、AC
102、sinC))AP=λ(AB/(
103、AB
104、sinB)+AC/(
105、AC
106、sinC))AP与AB/
107、AB
108、sinB+AC/
109、AC
110、sinC共线根据正弦定理
111、AB
112、/sinC=
113、AC
114、/sinB,所以
115、AB
116、sinB=
117、AC
118、sinC,所以AP与AB+AC共线AB+AC过BC中点D，所以P点的轨迹也过中点D，∴点P过三角形重心。
119、4.OP=OA+λ(ABcosC/
120、AB
121、+ACcosB/
122、AC
123、)OP=OA+λ(ABcosC/
124、AB
125、+ACcosB/
126、AC
127、)AP=λ(ABcosC/
128、AB
129、+ACcosB/
130、AC
131、)AP?BC=λ(AB?BCcosC/
132、AB
133、+AC?BCcosB/
134、AC
135、)=λ([
136、AB
137、?
138、BC
139、cos(180°-B)cosC/
140、AB
141、+
142、AC
143、?
144、BC
145、cosCcosB/
146、AC
147、]=λ[-
148、BC
149、cosBcosC+
150、BC
151、cosCcosB]=0，所以向量AP与向量BC垂直，P点的轨迹过垂心。 5.OP=OA+λ(AB/
152、AB
153、+AC/
154、AC
