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1、三圆的切线的性质及判定定理1.理解切线的性质定理及其两个推论,并能解决相关的计算或证明问题.2.掌握切线的判定定理,会判定直线与圆相切.12341.切线的性质定理1234【做一做1】如图,直线l与☉O相切于点A,点B是l上异于点A的一点,则△OAB是()A.等边三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形解析:∵l与☉O相切,∴l⊥OA.∴OA⊥AB.∴∠OAB=90°,△OAB是直角三角形.答案:C12342.性质定理推论11234【做一做2】如图,直线l与☉O相切,点P是l上任一点,当OP⊥l时,则()A.点P不在☉O上B.点P在☉O
2、上C.点P不可能是切点D.OP大于☉O的半径解析:由于OP⊥l,则P是l与☉O的切点,则点P在☉O上.答案:B12343.性质定理推论21234归纳总结由性质定理及其两个推论,可得出如下的结论:如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,(1)垂直于切线;(2)过切点;(3)过圆心,就可推出第三个.于是在利用切线的性质时,过切点的半径是常作的辅助线.1234【做一做3】直线l与☉O相切于点P,在经过点P的所有直线中,经过点O的直线有()A.1条B.2条C.3条D.无数条解析:过P且垂直于l的直线仅有1条,此时点O在该垂线上,故选A.答案:A12
3、434.切线的判定定理1243名师点拨在切线的判定定理中,要分清定理的条件和结论,强调“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可,否则就不是圆的切线,如图①②中的例子就不能同时满足这两个条件,所以都不是圆的切线.1243【做一做4】如图,AB经过☉O上一点C,且OA=OB,AC=CB.求证:直线AB是☉O的切线.分析:转化为证明OC⊥AB即可.证明:如图,连接OC.∵OA=OB,∴△OAB是等腰三角形.又∵AC=CB,∴OC⊥AB.又∵OC是☉O的半径,∴直线AB是☉O的切线.判定切线的方法剖析:判定切线通常有三种方法:(1)定
4、义法:和圆有唯一一个公共点的直线是圆的切线;(2)距离法:到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线;(3)定理法:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”是“到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线”的定理具体化.在使用时要根据题目的具体要求选取合适的方法:若已知要证的切线经过圆上一点,则需把这点与圆心相连,证明这条直线与此半径垂直,即用定理法;若不能确定已知要证的切线与圆有公共点,则需先向这条直线作垂线,再证明此垂线段是圆的半径,即用距离法证明;通常不用定义法证明.题型一题型二【例1】如
5、图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O交BC于点D,过点D作☉O的切线交AC于E.求证:DE⊥AC.分析:由DE是☉O的切线,知OD⊥DE,故要证明DE⊥AC,只需要证明OD∥AC即可.题型一题型二证明:如图,连接OD,AD.∵AB为☉O的直径,∴AD⊥BC.∵AB=AC,即△ABC为等腰三角形,∴AD为BC边上的中线,即BD=DC.又∵OA=OB,∴OD为△ABC的中位线.∴OD∥AC.∵DE切☉O于D,∴OD⊥DE.∴DE⊥AC.反思利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算时,连接圆心和切点的半径是常用辅助线.题型一题型二【变式
6、训练1】如图,已知∠C=90°,点O在AC上,CD为☉O的直径,☉O切AB于点E,若BC=5,AC=12,求☉O的半径.题型一题型二题型一题型二【例2】如图,AB是☉O的直径,AE平分∠BAF交☉O于点E,过E作直线与AF垂直,交AF的延长线于点D,且交AB的延长线于点C.求证:CD是☉O的切线.分析:只需证明OE⊥CD即可.题型一题型二证明:如图,连接OE.∵OA=OE,∴∠1=∠2.又∵AE平分∠BAF,∴∠2=∠3.∴∠1=∠3.∴OE∥AD.∵AD⊥CD,∴OE⊥CD.∴CD与☉O相切于点E.反思根据圆的切线性质判定圆的切线是平面几何
7、中最常用的方法.这种方法的步骤是:①连接圆心和公共点;②转化为证明直线过公共点且垂直于所连线段.由此看出,证明圆的切线可转化为证明直线垂直.题型一题型二【变式训练2】如图,AB是☉O的直径,BC是☉O的切线,切点为B,OC平行于弦AD.求证:DC是☉O的切线.证明:如图,连接OD.∵OC∥AD,∴∠1=∠3,∠2=∠4.又∵∠1=∠2,∴∠4=∠3.∵OD=OB,OC=OC,∴△ODC≌△OBC.∴∠ODC=∠OBC=90°.又∵点D在圆上,∴DC是☉O的切线.
