启新教育三年级奥数第二十讲乘除法的运算律和性质.docx

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1、启新教育三年级奥数第二十讲乘除法的运算律和性质我们在第1讲中介绍了加、减法的运算律和性质，利用它们可以简化一些加、减法算式的计算。本讲将介绍在巧算中常用的一些乘、除法的运算律和性质，其目的也是使一些乘、除法计算得到简化。1.乘法的运算律乘法交换律：两个数相乘，交换两个数的位置，其积不变。即a×b=b×a。　其中，a，b为任意数。例如，35×120=120×35=4200。　乘法结合律：三个数相乘，可以先把前两个数相乘后，再与后一个数相乘，或先把后两个数相乘后，再与前一个数相乘，积不变。即a×b×c=(a×b)×c=a×(b×c)。

2、(1)这两个运算律中数的个数可以推广到更多个的情形。即多个数连乘中，可以任意交换其中各数的位置，积不变；多个数连乘中，可以任意先把几个数结合起来相乘后，再与其它数相乘，积不变。(2)这两个运算律常一起并用。例如，并用的结果有a×b×c=b×(a×c)等。例1计算下列各题：(1)17×4×25；(2)125×19×8；(3)125×72；(4)25×125×16。　　分析：由于25×4=100，125×8=1000，125×4=500，运用乘法交换律和结合律，在计算中尽量先把25与4、把125与8或4结合起来相乘后，再与其它数相乘，

3、以简化计算。（解略）　乘法分配律：两个数之和(或差)与一数相乘，可用此数先分别乘和(或差)中的各数，然后再把这两个积相加(或减)。即　　(a+b)×c=a×c+b×c，(a-b)×c=a×c-b×c。例2计算下列各题：(1)125×(40+8)；(2)(100-4)×25；(3)2004×25；(4)125×792。解：(1)125×(40+8)=125×40+125×8=5000+1000=6000；(2)(100-4)×25=100×25-4×25=2500-100=2400；(3)2004×25=(2000+4)×25=20

4、00×25+4×25=50000+100=50100；(4)125×792=125×(800-8)=125×800-125×8=(125×8)×100-1000=99000。2.除法的运算律和性质　(1)商不变性质：被除数和除数乘(或除)以同一个非零数，其商不变。即　　a÷b=(a×n)÷(b×n)(n≠0)=(a÷m)÷(b÷m)(m≠0)例3计算：(1)425÷25；(2)3640÷70。解：(1)425÷25=(425×4)÷(25×4)=1700÷100=17；(2)3640÷70=(3640÷10)÷(70÷10)=36

5、4÷7=52。(2)两数之和(或差)除以一个数，可以用这两个数分别除以那个数，然后再求两个商的和(或差)。即(a±b)÷c=a÷c±b÷c。　　例如，(8+4)÷2=8÷2+4÷2，(9-6)÷3=9÷3-6÷3。　　此性质可以推广到多个数之和(或差)的情形。例如　　(1000-688-136)÷8　　=1000÷8-688÷8-136÷8　　=125-86-17=22。(3)在连除中，可以交换除数的位置，商不变。即a÷b÷c=a÷c÷b。　　在这个性质中，除数的个数可以推广到更多个的情形。例如，　　168÷7÷4÷3=168÷3

6、÷4÷7=……例4计算下列各题：(1)(182+325)÷13；(2)(2046-1059-735)÷3；(3)775÷25；(4)2275÷13÷5。解：(1)(182＋325)÷13=182÷13+325÷13=14+25=39；(2)(2046-1059-735)÷3=2046÷3-1059÷3-735÷3=682-353-245=84；(3)775÷25=(700+75)÷25=700÷25+75÷25=28+3=31；(4)2275÷13÷5=2275÷5÷13=455÷13=35。3.乘、除法混合运算的性质(1)在乘、

7、除混合运算中，被乘数、乘数或除数可以连同运算符号一起交换位置。例如，　　a×b÷c=a÷c×b=b÷c×a。(2)在乘、除混合运算中，去掉或添加括号的规则去括号情形：　　括号前是“×”时，去括号后，括号内的乘、除符号不变。即　　a×(b×c)=a×b×c，　　a×(b÷c)=a×b÷c。　　括号前是“÷”时，去括号后，括号内的“×”变为“÷”，“÷”变为“×”。即　　a÷(b×c)=a÷b÷c，　　a÷(b÷c)=a÷b×c。　　添加括号情形：　　加括号时，括号前是“×”时，原符号不变；括号前是“÷”时，原符号“×”变为“÷”，“

8、÷”变为“×”。即　　a×b×c=a×(b×c)，　　a×b÷c=a×(b÷c)，　　a÷b÷c=a÷(b×c)，　　a÷b×c=a÷(b÷c)。(3)两个数之积除以两个数之积，可以分别相除后再相乘。即　　(a×b)÷(c×d)　　=(a÷c)×(