2011全国数学竞赛预赛试卷.doc

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1、2011年全国初中数学竞赛预赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．如果，则（B）（A）（B）（C）（D）2．如果多项式，则的最小值是（A）（A）2008（B）2009（C）2010（D）2011BACD3．已知四边形ABCD中，∠A＝60，CB⊥AB，CD⊥AD，CB＝2，CD＝1.则AB的长为（C）（A）（B）（C）（D）4．在二行三列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子（相对面上分别标有1点和6点，2点和5点，3点和4点），在每一种翻动方式中，骰子不能后退。开始时骰子如图（

2、1）那样摆放，朝上的点数是2；最后翻动到如图（2）所示的位置，此时骰子朝上的点数不可能是下列数中的（D）（A）5（B）4（C）3（D）15．在直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点，称为整点。设为整数，当直线与直线的交点为整点时，的值可以取（A）个（A）8个（B）9个（C）7个（D）6个二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分.）6．从分数组中删去两个分数，使剩下的数之和为1，则删去的两个数是　　　．解：7．如果我们把定义为，定义为，那么多项式，当时的值为.解：8．将这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有种。解

3、：5种9．若表示不超过的最大整数，且满足方程，则＝　　　．解．ABMKNC10．如图，在中，是边的中点，是边上的点，且，与相交于点，若的面积等于，则的面积等于　　　．解：4三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．若干个1与2排成一行：1，2，1，2，2，l，2，2，2，1，2，．．．，规则是：第1个数是l，第2个数是2，第3个数是1．一般地，先写一行1，再在第k个1与第k+1个1之间插入k个2(k=1，2，3，．．．)．试问：(1)第2011个数是1还是2？(2)前2011个数的和是多少?解：(1)第2011个数是2．………………………………10分(2)前2011个数的和为3960

4、．……………………20分12．某公交公司停车场内有15辆车，从上午6时开始发车（6时整第一辆车开出），以后每隔6分钟再开出一辆．第一辆车开出3分钟后有一辆车进场，以后每隔8分钟有一辆车进场，进场的车在原有的15辆车后依次再出车．问到几点时，停车场内第一次出现无车辆？解：设从6时起x分钟时停车场内第一次出现无车辆，此时总共出车S辆，进场车y辆，则……………………………………6分∴，解得．……………………10分∵S为正整数，∴S＝56，即到第56辆车开出后，停车场内第一次出现无车辆．………………15分此时，6+=11.5（时）答：到11时30分时，停车场内第一次出现无车辆．……………………20

5、分DB.AOC13．如图，OA是⊙O的直径，延长OA至B，使OA=AB，C是OA的中点，D是圆周上的点，连结CD、BD求证：BD=2CD证明：延长DC至E，使连结DO、DA、EA、EODC=CE，C是OA的中点EOACDB.四边形OEAD是平行四边形OD=AE，OD=OA，OA=AB，AE=AB，AE=OA………………………………8分………………………………12分DA=DA…………………………………………16分DC=CEBD=2CD……………………………………20分14．坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数的点我们称为整点，试在二次函数y=的图象上找出满足y的所有整点(x,y),并说明理由.

6、-1CBDA1　　　解：满足条件的整点有(2，2)，(4，3)，(7，6)，(9，9)，(－3，3)，(－6，6).　　……………………6分理由如下：由x2－x+18≤10.当x≥0时，x2－x+18≤10x,x2－11x+18≤0,(x－2)(x－9)≤0，2≤x≤9,　这时，有4个整数点：(2，2)，(4，3)，(7，6)，(9，9)；……………………………13分当x<0时，x2－x+18≤－10x,　x2＋9x+18≤0，　（x+6）(x+3)≤0，－6≤x≤－3,这时有两个整数点：(－3，3)，(－6，6).……………………………………………20分