高等代数选讲讲义.doc

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1、高等代数选讲信阳师范学院数学与信息科学学院2006年9月目录第一讲带余除法1第二讲不可约多项式5第三讲互素与不可约、分解9第四讲多项式的根13第五讲典型行列式17第六讲循环行列式21第七讲特殊行列式方法26第八讲解线性方程组31第九讲分块矩阵与求秩35第十讲矩阵的分解与求逆35第十一讲广义逆与特殊矩阵对关系35第十二讲特征值、对角线与最小多项式35第十三讲向量的线性相关与自由度35第十四讲双线性型与正定二次型35第十五讲线性空间及其几何背景35第十六讲欧氏空间和正交变换的意义35第十七讲线性变换的核与象35第十八讲线性变换的特

2、征与不变子空间35第一讲带余除法定理1（带余除法）f(x),g(x)≠0P[x]，则有f(x)=g(x)s(x)+r(x)其中r(x)=0或(r(x))＜(g(x))，r(x)，s(x)P[x]定理2g(x)

3、f(x)r(x)=0(x－a)

4、f(x)f(a)=0带余除法可将f(x)，g(x)的性质“遗传”到较低次的r(x)，也可将g(x)，r(x)的性质“反馈”到较高次的f(x)。边缘性质：若满足某个条件C的多项式存在，则一定存在一个次数最低的满足条件C的多项式。反过来，满足条件D的多项式次数不超过m，则这样的集中一定有一个次

5、数最大的。根据带余除法和边缘性持，创造了求最大公因式的辗转相除法。可以证明最小公倍式也是存在的，还可以得到更多的其它结论。例1a是一个数，f(x)P[x]且f(a)=0，则P[x]中存在唯一首项系数=1且次数最低的多项式ma(x)：ma(a)=0证作：Sa={g(x)P[x]

6、g(a)=0}那么S≠，故S中存在一个次数最低且首系=1的多项式ma(x)，现设m(x)也是满足条件的多项式，那么(m(x))=(ma(x))所以(m(x)－(ma(x))＜(ma(x))令r(x)=m(x)－ma(x)则r(a)=0，得r(x)=0，所

7、以m(x)=ma(x)，唯一性证毕。推论：g(x)Sa，那么ma(x)

8、g(x)。证：g(x)=ma(x)t(x)+r(x)r(a)=0证。定理3a在P[x]中的ma(x)是不可约多项式，（用反证法）例2求Q[x]中，则即x适合x4－10x2+1，x4－10x2+1即为所求。87解法二：先考虑关于Q的所有对称根：有它自己和，，，于是==推广：Q[x]中的最小多项式为，其中p与q互素。例3求Q[x]中，的最小多项式解法一：设x=，则=2即得：解法二：，则，所以的对称根有故最小多项式为==当自然数p，为无理数时，的所有对称根为，，

9、，…，其中，且（*）用方法一虽简单，但对于诸如求87等的最小多项式时，就行不通，方法二虽长，却是有步骤地可以求出任何的最小多项式。任设，为A的特征多项式，由Hamilton－Caylay定理，fA(A)=0，作那么中存在唯一的首系=1且次数最低的多项式mA(x)，称mA(x)为A的最小多项式。例4例5令，那么，定理4，则A相似于对角矩阵的充要条件（之一）是gA(x)=mA(x)例6证明解法1所以于是解法2因为所以例7设复数在Q上线性无关，，且g(x)在Q[x]中不可约，若对于每个g(x)的根，有证明：g(x)

10、fi(x)，i=

11、1,2,…,m证：设fi(x)=g(x)hi(x)+di(x)，其中(di(x))＜(g(x))或di(x)=0g()=087故g(x)与h(x)=有公共根，因g(x)不可约，得g(x)

12、h(x)，即h(x)=0（否则，(h(x))＜(g(x))）得di(r)=0di(x)=0g(x)

13、fi(x).此题的难点在于从可能非有理数的如何过渡到有理数r，而下一题在正式出版的解答中也忽略了复数解。例8设的最大公因式是一个二次多项式，求t，u的值。（P45，7）解f(x)=g(x)·1+r(x)，r(x)=(1+t)x2+(2-t)x+

14、ut1其中由已知条件，必有s(x)=0，s(s)各项系数的分子为0，即若u=0得即，得t1=－4，，，u1=u2=u3=0若t2+t+3=0得（注意到），由得因此一共有5组t，u的取值，大部分学生及出版的解答都只给出了t=－4，u=0这一组解。87第二讲不可约多项式判定一个多项式f(x)是否可约，涉及其所在的数域P，也无固定的方法可循，在C上，任何大于1次的多项式皆可约，而只有一次多项式不可约，在R上，只有一次的和部分二次的(判别式＜0）是不可约的，在一般P上，一次多项式当然不可约，ma(x)若存在也是不可约的（上讲Th3）例

15、1设f(x)=x3－10x+5，证明f(x)在Q上不可约。证明：若f(x)在Q上可约，则f(x)必有一次因式，则f(x)必有有理根，但f(x)的有理根只可能是±1，±5。f(1)≠0，f(－1)≠0，f(5)≠0，f(－5)≠0所以f(x)在Q上不可约。这种方法对于四次以上的