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1、概率、变量分布列与期望【达标过关】1、袋中有3个白球和若干个红球，现从中任取2个球，若取到白球个数的期望值为0.75，则袋中的红球个数为_________.52、在区间[0,10]内随机取出2个数，则2个数的平方和也在区间[0,10]内的概率为（）DD4.D1.随机事件的概率（1）随机事件的概率范围：0≤P(A)≤1;必然事件的概率为1；不可能事件的概率为0.（2）古典概型的概率P（A）==.（3）几何概型的概率P（A）=A中所含的基本事件数基本事件总数构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）2.互斥事件有一个发生的概率P（A∪B）=P（
2、A）+P（B）.3.条件概率在A发生的条件下B发生的概率：P（B
3、A）=.4.相互独立事件同时发生的概率P（AB）=P（A）P（B）.5.独立重复试验如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为Pn（k）=pk（1-p）n-k，k=0，1，2，…，n.【典例分析】【例1】在箱子中装有十张卡片，分别写有1到10的十个整数，从箱子中任取出一张卡片，记下它的读数x，然后再放回箱子中，第二次再从箱子中任意取出一张卡片，记下它的读数y，试求：（1）x+y是10的倍数的概率；（2）xy是3的倍数的概率.解（1）先后两次抽取卡片，每次都有1到10这1
4、0个结果，故所得有序实数对（x，y）共有10×10=100个.因为x+y是10的倍数，它包含下列10个数对：（1，9），（2，8），（3，7），（4，6），（5，5），（6，4），（7，3），（8，2），（9，1），（10，10），故x+y是10的倍数的概率P（A）=.（2）要使xy是3的倍数，只要x是3的倍数或y是3的倍数即可，在这里可分三类：①x是3的倍数，y不是3的倍数，这样的数对（x，y）有·个；②x不是3的倍数，y是3的倍数，这样的数对（x，y）有·个；③x，y都是3的倍数的数对（x，y）有·个.故xy是3的倍数的概率为.【例2】设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的
5、点数,用随机变量表示方程x2+bx+c=0实根的个数(重根按一个计).(1)求方程x2+bx+c=0有实根的概率;(2)求的分布列和数学期望;(3)求在先后两次出现的点数中有5的条件下,方程x2+bx+c=0有实根的概率.解(1)基本事件总数为6×6=36,若使方程有实根，则Δ=b2-4c≥0,即当c=1时,b=2,3,4,5,6;当c=2时,b=3,4,5,6;当c=3时,b=4,5,6;当c=4时,b=4,5,6;当c=5时,b=5,6;当c=6时,b=5,6;目标事件个数为5+4+3+3+2+2=19，因此方程x2+bx+c=0有实根的概率为(2)由题意知,=0,1,2
6、,故的分布列为(3)记“先后两次出现的点数中有5”为事件M,“方程x2+bx+c=0有实根”为事件N,012P某企业准备投产一批特殊型号的产品,已知该种产品的成本C与产量q的函数关系式为(q＞0).该种产品的市场前景无法确定,有三种可能出现的情况,各种情形发生的概率及产品价格p与产量q的函数关系式如下表所示:市场情形概率价格p与产量q的函数关系式好0.4p=164-3q中0.4p=101-3q差0.2p=70-3q【尝试训练】设L1,L2,L3分别表示市场情形好、中、差时的利润,随机变量表示当产量为q而市场前景无法确定的利润.(1)分别求利润L1,L2,L3与产量q的函数关系
7、式;(2)当产量q确定时,求期望(3)试问产量q取何值时,取得最大值.解(1)由题意可得,(2)由期望定义可知,=0.4L1+0.4L2+0.2L3(3)由(2)可知是产量q的函数,得f′(q)=-q2+100.令f′(q)=0,解得q=10,q=-10(舍去）.由题意及问题的实际意义(或当0＜q＜10时,f′(q)＞0;当q＞10时,f′(q)＜0)可知,当q=10时,f(q)取得最大值，即最大时的产量q为10.1.连掷两次骰子得到的点数分别为m和n,记向量a=(m,n)与向量b=(1,-1)的夹角为,则的概率是_____.解析由向量夹角的定义,图形直观可得,当点A(m,n
8、)位于直线y=x上及其下方时,满足点A(m,n)的总个数为6×6个,而位于直线y=x上及其下方的点A(m,n)有(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)共21个,故所求概率P=【课堂巩固】2.已知变量x,y具有线性相关关系,测得一组数据如下:(2,30),(4,40),(5,60),(6,50),
