《向量组的秩》PPT课件.ppt

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1、第四节向量组的秩一、向量组的极大无关组二、向量组的秩三、小结、思考题（极大无关组的定义）一.向量组的极大无关组定义3.8注：1.极大无关组即是线性无关的部分组中向量最多的一个组.2.向量组的极大无关组可能不止一个.也是一个极大无关组,也是一个极大无关组,3.每个极大无关组所含向量的个数相同.例如，向量组是一个极大无关组,也是一个极大无关组,还有其它极大无关组吗？定理3.10证：如果是的一个极大无关组，则线性表示，必要性当是中的数时，可由由极大无关组定义知线性相关，可由线性表示，如果可由线性无关部分组则中任何r+1(r+1>r)个向量都线性相关，那么是极大无关组.定

2、理3.9充分性当不是中的数时，线性无关，线性表示，向量组和它的极大无关组可相互线性表示，即向量组与其极大无关组等价.注：按定义求极大无关组的方法：（添加法）首先在A中找出a1≠0，如果在A中还能找出a2≠0，使得a1，a2线性无关，如此继续下去，直到定义3.9规定：全由零向量组成的向量组的秩为零.矩阵的行秩：称矩阵A的行向量组的秩为矩阵A的行秩.矩阵的列秩：称矩阵A的列向量组的秩为矩阵A的列秩.二、向量组的秩定理3.5列向量组a1,a2,···,am线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵A=(a1,a2,···,am)的秩r(A)

3、关的充分必要条件是r(A)=m.定理3.11根据定理3.5，得所在的列线性无关，必要性设为矩阵，且的列秩与行秩相等，且为由r个列向量线性无关注：类似的方法可证A的行秩为r这r个列向量对应的矩阵的秩为r如果的列秩为不妨设的前r列为列向量组的一个极大无关组.线性无关A中有r阶子式不为零A中任意r+1阶子式都为零用反证法证明过程略.充分性对定理3.11的两点说明：极大线性无关组的求法2°而不为零的r阶子式所对应的列向量组，即是极大无关组.1°给定向量组a1,a2,···,am，以a1,a2,···,am为列向量构成一个矩阵(a1,a2,···,am)，然后进行初等行变换

4、，化为行阶梯形矩阵，求得矩阵的秩,即是极大无关向量组所含向量的个数.例1设矩阵同解有相同的线性关系.向量与向量之间例2解设继续对进行初等行变换，得行最简形矩阵显然有从而有初等行变换不改变列向量之间的线性关系例3设齐次线性方程组的解向量构成的向量组为S,求S的秩.解解方程组.所以得即S能由向量组线性表示线性无关是S的最大无关组.向量组秩的重要结论向量组a1,a2,···,ar的秩为R(a1,a2,···,ar),同时这个符号又可表示矩阵A=(a1,a2,···,ar)的秩.因此前面用矩阵的秩的方式叙述的向量组的有关结论都可以用向量组的秩的方式叙述.定理3.5向量组a

5、1,a2,···,am线性相关的充分必要条件是r(a1,a2,···,am)

6、条件是R(a1,a2,···,am)=R(b1,b2,···,bl)=R(a1,a2,···,am,b1,b2,···,bl).结论3:若向量组A:a1,a2,···,am能由向量组B:b1,b2,···,bl线性表示，则R(a1,a2,···,am)R(b1,b2,···,bl)与定理3.12的区别请同学尝试证明以上结论.向量组秩的其它结论１．极大无关组的意义三、小结特别当向量组为无限向量组，就能用有限向量组来代表．掌握了极大无关组，就掌握了向量的全体.凡是对有限向量组成立的结论，用极大无关组作过结论：向量组和它自己的极大无关组是等价的．渡，立即可推广到无限向量

7、组的情形中去．用来代表2.线性方程组、向量、矩阵之间的联系矩阵线性方程组有限向量组无限向量组系数矩阵增广矩阵矩阵的秩等于列（行）向量组的秩Ax=b有解等价于向量b能否由向量组A线性表示向量组与自己的极大无关组等价3.求向量组的秩以及极大无关组的方法初等行变换行阶梯型矩阵初等行变换行最简形矩阵找极大无关组，并表示其余向量P160-16116.(1)17.(2)18.19作业