数学题根评十年高考看一个题根.doc

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1、数学题根（1）评十年高考看一个题根(2009年版)——以阿波罗圆为例问题有根吗？回答是肯定的.我们来用考题研究题根，最便于调动人的积极性，最容易展开话题讨论.因为考题能把题根的科学性与题根的功利性最紧密地结合起来.用考题研究题根，请弄明白三种关系：（1）题目与题根的关系；（2）考题与考根的关系；（3）题根与考根的关系.那么，什么是题根？我们先看高考中的题根例子．（一）考题全新课本藏根【考题】满足条件的△ABC的面积的最大值是．【说明】这是2008年江苏卷第13题.想当年，50万江苏考生为此题拼搏，有的胜了，有的败了；有的说繁，有的说简；有的稿纸遍地，

2、有的一望而答！然而在考场内外，对此题的评价一致，齐声说好：设计新颖，不落俗套！【点评】本题好在哪里？如实地说，本题的“新意”只是在形式上，就其考查的知识内容而言，却不是一般的“陈旧”！从题根上看，这个题目已经考了十年，只是有些人不认识它罢了。以下，我们按“考题寻根”的思路，对本题的题根进行搜索．【思路1】向三角形面积公式寻根【考题】满足条件的△ABC的面积的最大值是．ABxDyC【解法1】设BC=x，则，作CD⊥AB于D，设DB=y，则：，所以所以所以显然当x2=12，即时，三角形面积有最大值【点评】一道5分的填空题，寻得一个“无理函数”，值得吗？【

3、思路2】向正弦面积公式寻根xCBA【解法2】△ABC的面积，设BC=x，得.在△ABC中得，又所以，则当时的最大值为.【点评】殊途同归，寻得同一个“无理函数”！巧合吗？【思路3】向三边面积公式寻根xCBA【解法3】设BC=x，得，由海伦公式（其中），得当时，的最大值为【分析】为何还是寻得同一个“无理函数”？因为你设了同一个自变量BC=x，故寻得同一个函数！其结果与三种不同的“思路”（中间过程）无关！【思路4】从函数式转向轨迹方程【解法4】建立如图的坐标系，设C(x，y)，A(-1,0)、B（1，0），由得.化得(x-3)2+y2=8(x≠0)，方程显

4、示：C点的轨迹是为以（3，0）为圆心，以为半径的圆.△ABC高的最大为圆的半径.【点评】转向方程，数形结合，运算量减少！题根何在？莫非就是这个圆？这是个什么圆？【寻根】我们寻根教材，结果找到此圆．现行高中课本（必修）数学第二册（上）例题：已知一曲线是与两个定点O(0，0)、A（3，0）距离之比为的点的轨迹，求此曲线的方程.例题答案：动点的轨迹方程是(x+1)2+y2=4.（1）考题：满足条件AB=2，的△ABC的面积的最大值是．答案：点C的轨迹方程是(x-3)2+y2=8（2）【研究】方程（1）（2）中的圆兄圆弟，你们是否出自一家？追根：更换例题中的

5、距离之比和线段长，则由例题的轨迹方程（1）变得考题轨迹方程.（2）.原来，它们只是换了两个数据！请问（1）（2）：兄弟贵姓？答曰：阿波罗！（二）阿波罗圆全族集合【有请】有请阿波罗，全族集合！轨迹问题；动点P(x、y)到定点F1(-c，0)、F2(c，0)的距离之比为λ.（c，λ为正数）求P(x、y)的轨迹方程.【探求】依题意，由距离公式得化简后【讨论】方程的图形是什么？（1）λ=1时，得x=0,即阿波罗直线；（2）λ≠1时，可以判定方程的轨迹是圆：阿波罗圆.【欣赏】阿波罗轨迹的和谐美阿波罗圆；动点P到两定点F1、F2距离之比为定值λ（c，λ为正数）.

6、则动点P的轨迹是阿波罗圆（线）.圆锥曲线；动点P到定点F与定直线L的距离之比为定值λ.则动点P的轨迹是二次曲线线.阿波罗圆（线）有四美：（1）直线与圆的统一美；（3）两族曲线的对应美；（2）量变质变的运动美；（4）解几图形的完整美.【初试】阿波罗圆实现“小题小作”.江苏第13题本是一道填空小题：满足条件AB=2，的△ABC的面积的最大值是．大作不值：5分的填空题，搬动无理函数：中作尚可：5分的填空题，搬动轨迹方程：(x-3)2+y2=8小作恰当；阿波罗圆的圆心在直线AB上，拿线段AB的内、外分点的连线段为直径.因此，阿波罗圆的问题可以从平面退到轴上解

7、决！【简解】阿波罗圆的轴上解决动点C到定点A(-1，0)和B（1，0）距离之比为则有得为内分点，为外分点.圆半径为，即为三角形高的最大值.△ABC高的最大值是.【说明】阿波罗圆的“轴上解决”，可以实现2008年江苏卷第13题.的“一望而答”！【赞歌】题根不只看外观，由表及里到内涵，此题出得内外好，题是三角根是圆。（三）十年离散一朝相聚【寻亲】阿波罗圆“全族同根”,以下是阿波罗圆的“考场寻亲”!看十年考场，何等兴旺！寻亲1：设A(-3，0)，B(3，0)为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离为定比1∶2，则P点的轨迹图形所围得的面积是（）.（199

8、9年全国卷）寻根1：对照课本例题，定比1∶2未变，但两定点间的距离由3变成了6.寻亲2：已知两定点A(-2，