张彩明全套配套课件图形学简明教程 第9章.ppt

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1、第9章曲线曲面的表示第9章曲线曲面的表示曲线曲面的表示是计算机图形学的重要研究内容之一。它是描述物体的外型，建立所画对象的数学模型的有力工具。在计算机图形学中，常用的曲线曲面的类型有Bézier曲线曲面、B样条曲线曲面、孔斯曲面以及它们的有理形式，这些曲线曲面采用分段和分片参数多项式的形式，具有适合计算机图形学和计算机辅助几何设计的优点。本章主要讨论曲线曲面的基础知识、Bézier和B样条曲线曲面以及Coons曲面的重要性质及其应用。9.1曲线曲面的基础知识9.1.1曲线的表示曲线曲面的表示形式有参数表示和非参数表示。在计算机图形学和

2、计算机辅助几何设计中，曲线曲面一般采用参数形式表示。曲线的显式表示：对于一条曲线，一个坐标变量能够显式地表示为另一个坐标变量的函数。如：缺点：①显式方程不能表示封闭曲线或多值曲线；②与坐标系相关；③描述切线与坐标轴垂直的曲线很困难，困难在于不能表示无穷大的斜率。1、非参数表示（1）显式表示（2）隐式表示用隐式的非参数方程可以表示多值曲线，平面曲线隐式表示的一般形式为；三维空间曲线的隐式表示式为。曲线的隐式表示也存在问题：1）非平面曲线是两张空间曲面的交线，既不直观也不利于计算和编程；2）给定方程的解可能比我们想的要多；3）表示部分曲线

3、麻烦；4）用隐式方程定义的曲线段在做连接时，很难直观地确定它们的切线方向在连接点上是否相等，而在很多应用中切向连续是构造光滑曲线的基本要求。非参数形式的共同优点是很容易判断一个点是位于曲线哪一侧，曲线的法线也容易计算。2、参数表示曲线的参数：指将曲线上各点的坐标变量分别显式地表示成参数的函数。若取参数为t，则曲线的参数表示为其中，和分别为t的显式函数。最简单的参数曲线是直线。连接点和的直线段的参数方程为一条曲线的参数表示形式并不是惟一的。在曲线曲面的表示上，参数表示比非参数表示更优越。①参数方程的形式不依赖于坐标系的选取，具有形状不变

4、性；②在参数表示中，变化率以切矢量来表示，不会出现无穷大的情况；③对参数表示的曲线、曲面进行平移、放缩和旋转等几何变换比较容易；④用参数表示的曲线曲面的交互能力强，参数表示式中系数的几何意义明确，并且提高了自由度，便于控制形状。2、参数表示9.1.2参数曲线的多项式表示将上式改写成矢量的形式其中，是多项式系数矢量。1、幂基数表示采用幂基数表示的三次参数多项式，由于多项式系数矢量并没有反映出曲线的几何性质，因此这种表示方法用于交互设计很不方便。（9.2）2、Hermite表示形式对于三次多项式曲线，常采用四个几何条件进行描述。如果采用H

5、ermite表示形式，则四个条件是：两端点的位置和以及两端点的切矢量和，易知，，A2和A3由下列方程确定把的值代入式(9.2)，则有其中为[0,1]区间上的三次Hermite基函数，也可称为调和函数。式(9.3)是参数曲线的几何形式，，，为其几何系数。（9.3）（9.4）2、Hermite表示形式式(9.2)和(9.3)写成矩阵形式分别是其中和分别表示矩阵A和B的转置利用式(9.5)及矩阵运算就可得到三次参数多项式曲线的幂基数表示和Hermite表示的转换关系。三次参数多项式曲线的幂基数表示和Hermite表示是计算机图形学和计算机辅

6、助几何设计中两种很重要的表示形式。（9.5）9.1.3参数曲线的位置矢量、切矢量、弧长、曲率1、位置矢量设和是曲线上的两点，记，如图9.3所示。当时，导数矢量的方向趋近于P点处的切线方向，记为。称为在t处的导矢，或切矢量。在三维空间中，曲线的参数方程为曲线上任一点的位置矢量可表示为2、切矢量P’(t)图9.3参数曲线的切矢△PP(t)P(t+△t)yxz设表示到的弧长，由于弦长和弧长的极限相同，即3、弧长T称为处切线方向的单位矢量。上式说明，如果以弧长为参数，曲线在任意点的切矢量为单位矢量。对于正则曲线（），从点到点的弧长定义为所以（

7、9.8）其中是切矢量的长度。设以弧长s为参数，曲线上的点和点处的单位切矢量分别为和，记两切矢的夹角为，,如图9.4所示。对于空间曲线，这两个切矢量通常不在同一平面上。记为曲线4、曲率从点到点的长度(弧长)，通常用与比的绝对值来度量弧的弯曲程度。当时，曲线在点处的曲率为当时，称为曲线在点的曲率半径。图9.4参数曲线的曲率T(s+△s)P(s+△s)P(s)T(s)△ΦT(s+△s)△h△TT(s)由于和都是单位长度，所以圆心角与其对应的圆弧长(图9.4)大小相等。弧长和的极限相同，因此，所以由式（9.8）知下面讨论以t为参数时，曲线的曲

8、率表达式。因为上式两段对t求导，就有由得（9.9）设是曲线在点t处的单位切矢量，如果则称方向上的单位矢量N为主法矢量。单位切矢量满足，两边对t求导得。可见，矢量垂直于T，即主法矢量N和单位切矢量垂直。5、主法矢量和副法矢