2016年东城高三理科期末数学试题.doc

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北京市东城区2015-2016学年第一学期期末教一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1）已知集合，集合，，那么集合（A）（B）（C）（D）（2）已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，那么该三棱锥的体积等于3331正（主）视图侧（左）视图13俯视图（A）cm3（B）cm3（C）cm3（D）cm3（3）设为虚数单位，如果复数满足，那么的虚部为（A）（B）（C）（D）（4）已知，令，，，那么之间的大小关系为（A）（B）（C）（D）（5）已知直线的倾斜角为，斜率为，那么“”是“”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（6）已知函数，如果关于x的方程有两个不同的实根，那么实数k的取值范围是（A）（B）（C）（D） （7）过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点是原点，如果，，，那么的值为（D）（8）如图所示，正方体的棱长为1,分别是棱，的中点，过直线的平面分别与棱、交于，设，，给出以下四个命题：①四边形为平行四边形；②若四边形面积,,则有最小值；③若四棱锥的体积，，则常函数；④若多面体的体积，，则为单调函数．其中假命题为①②③（D）④二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.（9）在中，分别为角的对边，如果，，，那么.（10）在平面向量中，已知，.如果，那么；如果，那么.（11）已知满足满足约束条件，那么的最大值为___.（12）如果函数的图象过点且．那么；　　．（13）如果平面直角坐标系中的两点，关于直线对称，那么直线 的　　　方程为__.（14）数列满足：，给出下述命题：　①若数列满足：，则成立；　②存在常数，使得成立；　③若，则；　④存在常数，使得都成立．　　　上述命题正确的是____．(写出所有正确结论的序号)三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（15）（本小题共13分）设是一个公比为等比数列，成等差数列,且它的前4项和.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令,求数列的前项和.（16）（本小题共13分）已知函数．（Ⅰ）求的最小正周期和在上的单调递减区间；（Ⅱ）若为第四象限角，且，求的值.EBCADP（17）（本小题共14分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，,为棱的中点.（Ⅰ）证明:；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）若为中点，棱上是否存在一点，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. （18）（本小题共13分）已知椭圆（）的焦点是，且，离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若过椭圆右焦点的直线交椭圆于，两点，求的取值范围．（19）（本小题共14分）已知函数．（Ⅰ）当时，试求在处的切线方程；（Ⅱ）当时，试求的单调区间；（Ⅲ）若在内有极值，试求的取值范围．（20）（本小题共13分）已知曲线的方程为：.（Ⅰ）分别求出时，曲线所围成的图形的面积;（Ⅱ）若表示曲线所围成的图形的面积，求证：关于是递增的;(III)若方程，，没有正整数解，求证：曲线上任一点对应的坐标，不能全是有理数.东城区2015-2016学年第一学期期末教学统一检测参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.题号12345678答案AABCBBAD第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. （9）（10）（11）（12）（13）（14）①④三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（15）（本小题共13分）设是一个公比为等比数列，成等差数列,且它的前4项和.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令,求数列的前项和.解：（Ⅰ）因为是一个公比为等比数列，　　所以．　　因为成等差数列，　　所以即．　　解得.　　又它的前4和，得，　　解得．　　所以.　　　　　　…………………9分（Ⅱ）因为，　所以．　　………………13分（16）（本小题共13分）已知函数．（Ⅰ）求的最小正周期和在上的单调递减区间；（Ⅱ）若为第四象限角，且，求的值.解：（Ⅰ）由已知 所以最小正周期由得故函数在上的单调递减区间…………9分（Ⅱ）因为为第四象限角，且，所以．所以=．…………………13分EBCADP（17）（本小题共14分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，,为棱的中点.（Ⅰ）证明:；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）若为中点，棱上是否存在一点，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由.（Ⅰ）证明：因为底面，　所以．　因为，zyxEBCDAP　所以.由于，所以有．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…………………４分（Ⅱ）解：依题意，以点为原点建立空间直角坐标系（如图），　不妨设，可得，，， 　.由为棱的中点，得.　向量,.　设为平面的法向量，则即．　不妨令，可得（1,1,1）为平面的一个法向量.所以.　所以，直线与平面所成角的正弦值为.…………………11分（Ⅲ）解：向量，，.　由点在棱上，设.　故.　由，得，　因此，，解得.所以.…………………13分（18）（本小题共13分）已知椭圆（）的焦点是，且，离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过椭圆右焦点的直线交椭圆于，两点，求的取值范围．解（Ⅰ）因为椭圆的标准方程为，由题意知解得． 所以椭圆的标准方程为．　　　　……………………………5分（Ⅱ）因为，当直线的斜率不存在时，，，则，不符合题意.当直线的斜率存在时，直线的方程可设为．由消得（*）．设，，则、是方程（*）的两个根，所以，．所以，所以所以　当时，取最大值为，所以的取值范围.　又当不存在，即轴时，取值为．所以的取值范围.…………13分（19）（本小题共14分） 已知函数．（Ⅰ）当时，试求在处的切线方程；（Ⅱ）当时，试求的单调区间；（Ⅲ）若在内有极值，试求的取值范围．解：（Ⅰ）当时，，，．方程为．　　　　　　　　　　　　　　　　　…………………4分（Ⅱ），　　．当时，对于，恒成立，　　所以Þ；Þ0.　　所以单调增区间为，单调减区间为．　　…………………8分（Ⅲ）若在内有极值，则在内有解．令ÞÞ.设,所以,当时，恒成立，所以单调递减.又因为，又当时，,即在上的值域为,　　所以当时，有解.设，则，所以在单调递减.因为，,所以在有唯一解.所以有：00 极小值所以当时，在内有极值且唯一.当时，当时，恒成立，单调递增，不成立．综上，的取值范围为．…………………14分（20）（本小题共13分）已知曲线表示满足的方程.（Ⅰ）求出时，曲线所围成的图形的面积;（Ⅱ）若表示曲线所围成的图形的面积，求证：关于是递增的;(III)若方程，，没有正整数解，求证：曲线上任一点对应的坐标，不能全是有理数.解:（Ⅰ）当时,由图可知,.…………………3分（Ⅱ)要证是关于递增的，只需证明：．　由于曲线具有对称性，只需证明曲线在第一象限的部分与坐标轴所围成的面积递　增．现在考虑曲线与，　因为　　因为　　在(1)和(2)中令，　当，存在使得，成立，　此时必有．　因为当时，　所以．　两边同时开n次方有，．（指数函数单调性） 　这就得到了，　从而是关于递增的．　　　　　　　　　　　　　…………………10分(III)由于可等价转化为，　反证：若曲线上存在一点对应的坐标，全是有理数，　不妨设，，且互质，互质．　则由可得，　．　即．　这时就是的一组解，　这与方程，，没有正整数解矛盾，　所以曲线上任一点对应的坐标，不能全是有理数．　…………………13分