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1、定理1.1等系数和线我们熟知，若=x+y，x+y=1那么C点在AB上，即A，B，C三点共线.类似地，若x+y=m(m为常数)，就可以写成，=1不难发现，C点在与AB平行的直线A'B'上.其中A'为向量的终点，B'为向量的终点.这样向量问题就被赋予几何含义，从而简便地解决这一类问题.进一步探索，令x=0或y=0可以得到.例题1.1在扇形AOB中，OA=OB=1，∠AOB=60°，C为(不包括端点)上的一点，且=x+y.(1)求x+y的取值范围；(2)若t=x+λy存在最大值，求λ的取值范围.解(1)如图1，C所在的在m=1和m=的两条等系数和线之间（包括MN
2、，不包括AB），于是x+y的取值范围是.图1图2(2)如图2，将已知条件改写为=x+λy，于是t所对应的等系数和线是一系列与直线AP平行的直线，其中P为向量的终点.由于t有最大值，于是其对应的一系列等系数和线中必然存在与相切的一条，因此P位于线段MN上（不包括端点），其中AM与B处的切线平行，AN为A处的切线.从而易得λ的取值范围是.例题2.2已知O为锐角△ABC的外心，，且=x+y，求2x-y的取值范围.解设BD和CE为圆O的直径，则点A在劣弧DE上运动，于是=(-x)+(-y),且x,y<0.方法一考虑到问题涉及的代数式为2x-y，为了利用向量分解的系
3、数和的几何意义，将条件转化为=2x+,此时可知连接向量的终点F与向量的终点E的直线EF即等系数和线2x-y=1，如图.依次作出其等系数和线，可得2x-y的取值范围是.方法二根据题意，有，于是，且x,y<0配方，有，令则所求范围即2a的取值范围.根据题意，有规划如图.不难得到，a的取值范围是，因此所求代数式的取值范围是方法三根据外心的向量表达，有于是将已知条件整理为从而可得?根据题意，有.记2B=θ，则?∈(,?).欲求代数式3由θ的取值范围不难得到的取值范围是例题1.3已知圆O：x2+y2=1为△ABC的外接圆，且tanA=2，若=x+y，求x+y的最大值
4、.解如图，延长AO交边BC于点D，设，则有??于是由平面向量共线的表达可得??从而可得?显然，当OD取最小值时x+y取得最大值，此时△ABC为等腰三角形，容易计算得定理2.1极化恒等式（注：本节中，向量有时用粗体表示）设a，b是2个平面向量，则成立恒等式a·b[(a+b)2-(a-b)2].①有时也将式①写成4a·b=(a+b)2-(a-b)2.注式①表明向量的内积运算可以由向量线性运算的模导出（也是向量内积的另一种定义），是沟通向量内积运算和线性运算的重要公式．若a,b是实数，则恒等式①也叫“广义平方差”公式．极化恒等式的几何意义是：向量的数量积可以表示
5、为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即a·b[
6、
7、2-
8、
9、2].在三角形中，也可以用三角形的中线来表示，即a·b=
10、
11、2-
12、
13、2，它揭示了三角形的中线与边长的关系.例题2.1设△ABC，P0是边AB上一定点，满足4=，且对于边AB上任意一点P，恒有·≥·，则（）A．∠ABC=90°B.∠BAC=90°C.AB=ACD.AC=BC解如图，取线段BC的中点M，则4·=(+)2-(-)2=4
14、
15、2-
16、
17、2.要使·的值最小，只需
18、
19、取最小值。因为P是线段AB上的动点，所以只有当MP⊥AB时，
20、
21、取得最小值，且点P与点P0必须
22、重合，M是线段BC的中点，只有AC=BC时才能成立，故选D。例题2.2已知直线AB与抛物线y2=4x交于点A,B，点M为AB的中点，C为抛物线上一个动点，若C0满足C0A·C0B=min{CA·CB}，则下列一定成立的是（）A．C0M⊥ABB．C0M⊥l，其中l是抛物线过C0的切线C．C0M⊥C0BD．C0M=AB分析该题无论从形式还是内涵与例题2.1都是一样的．事实上根据“极化恒等式”，有4CB·CA=4
23、CM
24、2-
25、AB
26、2因为
27、AB
28、给定，显然要使CB·CA最小，只需
29、CM
30、最小，即C0M⊥l，其中l是抛物线过C0的切线.需要说明的是，命题组并没有说
31、明l是一条什么样的直线，其实直线l是：当以定点M为圆心的圆与抛物线y2=4x相切时的公切线.例题2.3在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则AB·AC=______.分析该问题就是利用“极化恒等式”解决的极佳范例.因为4AB·AC=(AB+AC)2-(AB-BC)2=4
32、AM
33、2-
34、BC
35、2=62-102=-64，所以AB·AC=-16.例题2.4在正△ABC中，D是BC上的点，AB=3，BD=1，则AB·AD=______.分析这是极化恒等式的直接变式范例.设BD的中点为E，则4AB·AD=4
36、AE
37、2-
38、BD
39、2=4
40、AO
41、2+
42、OE
43、
44、2-
45、BD
46、2=30从而AB·AD.例题2.5已知a,b是平面内2
