概率论与数理统计答案.doc

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1、第六章样本及抽样分布1.[一]在总体N(52,6.32)中随机抽一容量为36的样本,求样本均值落在50.8到53.8之间的概率。解:2.[二]在总体N(12,4)中随机抽一容量为5的样本X1,X2,X3,X4,X5.(1)求样本均值与总体平均值之差的绝对值大于1的概率。(2)求概率P{max(X1,X2,X3,X4,X5)>15}.(3)求概率P{min(X1,X2,X3,X4,X5)>10}.解:(1)=(2)P{max(X1,X2,X3,X4,X5)>15}=1-P{max(X1,X2,X3,X4,X5)≤15}=(3)P{min(X1,X2,X3

2、,X4,X5)<10}=1-P{min(X1,X2,X3,X4,X5)≥10}=4.[四]设X1,X2…,X10为N(0,0.32)的一个样本,求13解:7.设X1,X2,…,Xn是来自泊松分布π(λ)的一个样本,,S2分别为样本均值和样本方差,求E(),D(),E(S2).解:由X~π(λ)知E(X)=λ,∴E()=E(X)=λ,D()=[六]设总体X~b(1,p),X1,X2,…,Xn是来自X的样本。(1)求的分布律;(2)求的分布律;(3)求E(),D(),E(S2).解:(1)(X1,…,Xn)的分布律为=(2)(由第三章习题26[二十七]知)

3、(3)E()=E(X)=P,[八]设总体X~N(μ,σ2),X1,…,X10是来自X的样本。(1)写出X1,…,X10的联合概率密度(2)写出的概率密度。解:(1)(X1,…,X10)的联合概率密度为(2)由第六章定理一知13~即的概率密度为第七章参数估计1.[一]随机地取8只活塞环,测得它们的直径为(以mm计)74.00174.00574.00374.00174.00073.99874.00674.002求总体均值μ及方差σ2的矩估计,并求样本方差S2。解:μ,σ2的矩估计是。2.[二]设X1,X1,…,Xn为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数

4、或分布律中的未知参数的矩估计量。(1)其中c>0为已知,θ>1,θ为未知参数。(2)其中θ>0,θ为未知参数。(5)为未知参数。解:(1),得(2)13(5)E(X)=mp令mp=,解得3.[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。解:(1)似然函数(解唯一故为极大似然估计量)(2)。(解唯一)故为极大似然估计量。(5),解得,(解唯一)故为极大似然估计量。4.[四(2)]设X1,X1,…,Xn是来自参数为λ的泊松分布总体的一个样本,试求λ的极大似然估计量及矩估计量。解:(1)矩估计X~π(λ),E(X)=λ,故=为矩估计量。13(2)极大似然

5、估计,为极大似然估计量。(其中5.[六]一地质学家研究密歇根湖湖地区的岩石成分,随机地自该地区取100个样品,每个样品有10块石子,记录了每个样品中属石灰石的石子数。假设这100次观察相互独立,并由过去经验知,它们都服从参数为n=10,P的二项分布。P是该地区一块石子是石灰石的概率。求p的极大似然估计值,该地质学家所得的数据如下样品中属石灰石的石子数012345678910观察到石灰石的样品个数016723262112310解:λ的极大似然估计值为==0.499[四(1)]设总体X具有分布律X123Pkθ22θ(1-θ)(1-θ)2其中θ(0<θ<1)

6、为未知参数。已知取得了样本值x1=1,x2=2,x3=1,试求θ的矩估计值和最大似然估计值。解:(1)求θ的矩估计值则得到θ的矩估计值为(2)求θ的最大似然估计值13似然函数lnL(θ)=ln2+5lnθ+ln(1-θ)求导得到唯一解为8.[九(1)]设总体X~N(μ,σ2),X1,X1,…,Xn是来自X的一个样本。试确定常数c使的无偏估计。解:由于=当。[十]设X1,X2,X3,X4是来自均值为θ的指数分布总体的样本,其中θ未知,设有估计量(1)指出T1,T2,T3哪几个是θ的无偏估计量;(2)在上述θ的无偏估计中指出哪一个较为有效。解:(1)由于X

7、i服从均值为θ的指数分布,所以13E(Xi)=θ,D(Xi)=θ2,i=1,2,3,4由数学期望的性质2°,3°有即T1,T2是θ的无偏估计量(2)由方差的性质2°,3°并注意到X1,X2,X3,X4独立,知D(T1)>D(T2)所以T2较为有效。14.[十四]设某种清漆的9个样品,其干燥时间(以小时计)分别为6.05.75.86.57.06.35.66.15.0。设干燥时间总体服从正态分布N~(μ,σ2),求μ的置信度为0.95的置信区间。(1)若由以往经验知σ=0.6(小时)(2)若σ为未知。解:(1)μ的置信度为0.95的置信区间为(),计算得(

8、2)μ的置信度为0.95的置信区间为(),计算得,查表t0.025(8)=2.3060.16.

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