连续介质力学基础第三章.ppt

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1、第三章连续介质运动学3.1、物质坐标和空间坐标1.物质坐标和空间坐标的概念物质坐标(Lagrange坐标):标记各个质点一般选取各个质点的初始空间位置a(a,a,a)123其位置的历史为xx(a,a,a,t),xx(a,a,a,t),xx(a,a,a,t)111232212333123拉格朗日方法:以质点为研究对象,研究在给定质点上的物理量随时间的变化规律,以及物理量从一个质点到另一个质点的变化规律.物理量看成a和t的函数F(a,t)F(a,a,a,t)(3-1)1231空间坐标(Euler坐标):标记各个质点在不同时

2、刻占据的空间位置x(x,x,x)123欧拉方法:研究在所给定的空间位置上各物理量随时间的变化,以及这些物理量从一个空间位置转移到另一个空间位置时的变化规律.看成x和t的函数.f(x,t)f(x1,x2,x3,t)(3-2)2物质坐标ai和空间坐标x的关系i对于一个质点,在空间坐标中,在不同的时刻处于不同的空间位置,可以描述成:xx(t)或xx(t)ii加入质点因素,则有xx(a,a,a,t)x(a,t)ii123i(3-3)xx(a,t)若a不变,则表示以a为标记的质点的轨迹;t不变,表示各个质点在

3、该时刻所处的空间位置.3若(3-3)存在逆变式,应满足Jx/a0ij则aa(x,x,x,t)a(x,t)ii123iaa(x,t)每个时刻连续介质所占据的空间位置上都有一个质点存在.质点和空间位置一一对应.4空间导数,物质导数物理量:f(x,t)F(a,t)aa(x,t)xx(a,t)空间导数f(x,t)F(a,t)F(a,t)FattttatxxxatxF(a,t)Fai(3-4)tataitx质点的运动速度?物质

4、导数f(x,t)F(a,t)f(x,t)Fxttttxtaaaxtaf(x,t)fxi质点的运动速度?txtxita52.质点位移,速度和随体微商质点位移:取物质坐标为连续介质质点在初始时刻的空间位置ax(a,0)在t时刻连续介质的位形:xx(a,t)质点在t时刻相对于初始时刻的位移:u(a,t)x(a,t)auxx速度定义v(a,t)orviittt22加速度vuxw(a,t)22t

5、tt6物质导数:即随体导数,给定质点上函数对时间的变化率.F(a,t)f(x,t)f(x,t)fxttttxta不变aaxta(3-5)f(x,t)fxitxtxita质点速度xivita一般物质导数用DDt表示.则DDF(a,t)F(a,t)f(x,t)Df(x,t)DtDtttDta不变a不变(3-6)Dff(x,t)f(x,t)f(x,t)f(x,t)vvkDttxtxk7Df

6、ffff或写成:vvk(3-7)DttxtxkD物质导数算子:vvkDttxtkDu(a,t)u1)速度(Lagrange形式)v(a,t)DttDu(a,t)uv(a,t)iiiDtt2)速度(Euler形式)Duu运用v(v)uDtt了物Duiuiui质导v(x,t)vikDttxk数算子vv(x,t)v(x,x,x,t)123为瞬时速度场.v(x,t)v(x,x,x,t)ii1238加速度(Lagr

7、ange形式):速度的物质导数Dv(a,t)v(a,t)w(a,t)DttaDv(a,t)v(a,t)iiw(a,t)iiDtta加速度(Euler形式)Dv(x,t)v(x,t)w(x,t)(v(x,t))v(x,t)DttDv(x,t)v(x,t)v(x,t)iiiw(x,t)v(x,t)ikDttxk922例1:已知位移场umta,uu0(Lagrange)112322mtu122x1,u2u30(Euler)1mt求速度场

8、v和加速度场w解:u1u1u1u1u1u1vvvvv1j123txtxxxj123u12v2mta,vv022211232mtmt