连续介质力学第二讲.ppt

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1、三、应力理论1.Cauchy应力定义在即时构形中的应力张量又称真应力.变形后斜截面上的应力矢量:作用于上的力:Cauchy应力是以即时构形中的面积为基准来度量的。由微六面体的力矩平衡，可知经典连续介质学理论中为对称张量,即:2．第一类P-K(Piola-Kirchhoff)应力P又称名义应力即时构形中的面元矢量对应于参考构形中的面元矢量P称为第一类P-K应力根据Nanson公式:令:其中:注意内力不是真正作用在面元上.其中:也是两点张量3.Kirchhoff应力张量Kirchhoff应力张量与Cauchy应力张量一样,也是对称张量根据定义有:分量形式:同

2、理:定义在即时构形中的张量4．第二类P-K应力T定义:根据定义:所以:可证如果Cauchy应力（或Kirchhoff应力张量)为对称张量,则第二类P-K应力也是对称张量。由于:分量形式有:作用于即时构形中面元上的内力通常有三种表示方法:四、连续介质力学基本方程1、质量守恒以与各表示初始构形与即时构形中的质量密度根据质量守恒率:所以:其中:对方程两边求物质导数:可证明:所以:率形式的质量守恒律证明:引理:设矩阵a的行列式为:,元素的代数余子式记作将行列式看作它的9个元素的函数，则有:则有:而:所以:现在把J看作其9个元素的函数，对时间求物质导数而:所以:2

3、.动量方程（Balanceoflinearmomentum）在即时构形中，任意取一个域，体积元记为对此域运用动量定理:由GREEN公式:由于域是任意的:对于体积力为零的静力学问题:2.1以前的推导2.2第二种方法引理：在即时构型上体积分的物质导数所以：动量矩定理:3.角动量方程（Balanceofangularmomentum）所以：4.守恒率的一般形式如果采用欧拉描述，上述三个守恒率可表达为：固体力学常采用拉格朗日描述：其中：拉格朗日描述中，体元体积不变：对物质坐标求散度5.能量平衡律在即时构型中任意v域内的总能量P由动能K与内能E组成，即根据热力学第

4、一定律，总能量P的物质导数，即对时间的变化率等于作用于v域的外力功率与每单位时间从v域外部所加的热：式中h表示热流矢量（或称热通量），即每单位时间每单位面积的热流，k表示每单位质量接受外部的热（称为热源）而其中K为动能.动能其中由质量守恒知:的物质导数为零所以:又根据平衡方程:而所以:又:其中:为变形率张量旋率张量反对称所以:由于上式对任意域成立,所以有:微分形式的热力学第一定律积分形式的热力学第一定律其中:为即时构形中单位体积的内力功率定义变形功率w为它表示参考构形中每单位体积（也就是即时构形中单位体积的J倍)的变形功率.引理1:设a与b为二阶张量,则

5、:即:引理2:即:可以推广于多个二阶张量点积的情况，例如的其它表达形式由于:有:我们称:和为一对功共轭的应力应变张量.微分形式的热力学第一定律Reddy书6.熵不等式,熵平衡律(热力学第二定律）以η表示每单位质量的熵,则在即时构形中,v域的总熵为:以θ表示温度（绝对温度,θ＞0），则由热力学第二定律，必有:式中h/θ称为熵流，k/θ称为熵源。积分形式的热学第二定律对于不可逆过程，式中取“>”号，而对于可逆过和，则取“=”。总熵的生成率7.本构关系本构理论研究应力张量与物体运动历史的关系,主要是应力与应变之间的关系,本构关系必须满足一定的原理.坐标不变性原

6、理:任何一个物理过程与所选的坐标系没有关系,如果用张量的抽象记法描述本构关系,则坐标不变性自然满足.2.应力确定性原理:物体的应力只取决于它过去的全部变形历史,而与将来的运动变形无关.3.局部作用原理:某点的应力只与该点无限小邻域的运动状态有关.注意:非局部理论是当前固体力学的研究热点之一!4.本构的客观性原理:Cauchy应力是客观张量.