高三数学提优材料一.doc

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1、高三数学提优材料一1.（扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三数学试题）如图,已知椭圆方程为,圆方程为,过椭圆的左顶点A作斜率为直线与椭圆和圆分别相交于B、C.(Ⅰ)若时,恰好为线段AC的中点,试求椭圆的离心率;(Ⅱ)若椭圆的离心率=,为椭圆的右焦点,当时,求的值;(Ⅲ)设D为圆上不同于A的一点,直线AD的斜率为,当时,试问直线BD是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.2.（南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）已知左焦点为F(-1,0)的椭圆过点E(1,).过点P(1,1)分别作斜率为k1,k2的椭圆的动弦AB,CD,设M,N分别为线段AB,CD的中点

2、.(1)求椭圆的标准方程;(2)若P为线段AB的中点,求k1;(3)若k1+k2=1,求证直线MN恒过定点,并求出定点坐标.高三数学提优材料一答案．（扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三数学试题）如图,已知椭圆方程为,圆方程为,过椭圆的左顶点A作斜率为直线与椭圆和圆分别相交于B、C.(Ⅰ)若时,恰好为线段AC的中点,试求椭圆的离心率;(Ⅱ)若椭圆的离心率=,为椭圆的右焦点,当时,求的值;(Ⅲ)设D为圆上不同于A的一点,直线AD的斜率为,当时,试问直线BD是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.【答案】解:(Ⅰ)当时,点C在轴上,且,则,由点B在椭圆上,得,∴,

3、,∴(Ⅱ)设椭圆的左焦点为,由椭圆定义知,,∴,则点B在线段的中垂线上,∴,又,∴,,∴,代入椭圆方程得=,∴=(Ⅲ)法一:由得,∴,或,∵,∴,则由得,得,或,同理,得,,当时,,,,∴BD⊥AD,∵为圆,∴∠ADB所对圆的弦为直径,从而直线BD过定点(a,0)法二:直线过定点,证明如下:设,,则:,所以,又所以三点共线,即直线过定点．（南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）已知左焦点为F(-1,0)的椭圆过点E(1,).过点P(1,1)分别作斜率为k1,k2的椭圆的动弦AB,CD,设M,N分别为线段AB,CD的中点.(1)求椭圆的标准方程;(2)若P为线段AB的中点,求k1;(3)若

4、k1+k2=1,求证直线MN恒过定点,并求出定点坐标.【答案】解:依题设c=1,且右焦点(1,0).所以,2a==,b2=a2-c2=2,故所求的椭圆的标准方程为(2)设A(,),B(,),则①,②.②-①,得.所以,k1=(3)依题设,k1≠k2.设M(,),直线AB的方程为y-1=k1(x-1),即y=k1x+(1-k1),亦即y=k1x+k2,代入椭圆方程并化简得.于是,,同理,,.当k1k2≠0时,直线MN的斜率k==直线MN的方程为,即,亦即.此时直线过定点当k1k2=0时,直线MN即为y轴,此时亦过点.综上,直线MN恒过定点,且坐标为本题主要考查直线与椭圆的基础知识,考查计算能力与

5、独立分析问题与解决问题的能力.讲评本题时,要注意对学生耐挫能力的培养.第(2)问,亦可设所求直线方程为y-1=k1(x-1),与椭圆方程联立,消去一个变量或x或y,然后利用根与系数的关系,求出中点坐标与k1的关系,进而求出k1的值.第(3)问,可有一般的情形:过定椭圆内的定点作两条斜率和为定值的动弦,则两动弦的中点所在直线过定值.此结论在抛物线中也成立.另外,也可以求过两中点所在直线的斜率的最值.近几年江苏高考解析几何大题的命题趋势:多考一点“算”,少考一点“想”.1.【2012高考江苏19】（16分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，．已知和都在椭圆上，其中为椭圆的离心率．

6、（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点P．（i）若，求直线的斜率；（ii）求证：是定值．1.【答案】解：（1）由题设知，，由点在椭圆上，得，∴。由点在椭圆上，得∴椭圆的方程为。（2）由（1）得，，又∵∥，∴设、的方程分别为，。∴。∴。①同理，。②（i）由①②得，。解得=2。∵注意到，∴。∴直线的斜率为。（ii）证明：∵∥，∴，即。∴。由点在椭圆上知，，∴。同理。。∴由①②得，，，∴。∴是定值。2.【2012高考浙江理21】(本小题满分15分)如图，椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为，其左焦点到点P(2，1)的距离为．不过原点O的直线l与C相交于A，B两点

7、，且线段AB被直线OP平分．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)求ABP的面积取最大时直线l的方程．【命题立意】本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力。2.【解析】(Ⅰ)由题：；(1)左焦点(﹣c，0)到点P(2，1)的距离为：．(2)由(1)(2)可解得：．∴所求椭圆C的方程为：．(Ⅱ)易得直线OP的方程：y＝x，设A(xA，yA)，B(xB，yB