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《数学分析全套配套课件第4版上下册华东师范大学数学系11-1.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、一、反常积分的背景反常积分讨论的是无穷区间上的积分和无界函数的积分，是定积分概念的推广.§1反常积分概念数学分析第十一章反常积分二、两类反常积分的定义*点击以上标题可直接前往对应内容反常积分的背景在讨论定积分时有两个最基本的条件：但以下例子告诉我们有时我们需要考虑无穷区间例1(第二宇宙速度问题)在地球表面垂直发射火的有穷性;上的“积分”或无界函数的“积分”.箭,要使火箭克服地球引力无限远离地球,试问初速度v0至少要多大？积分区间被积函数的有界性.后退前进目录退出反常积分的背景解设地球半径为R,火箭质量为m,按万有引力定理,在距地心力加速度为g,地面上的重于是
2、火箭从地面上升到距地心为 处需作功反常积分的背景处火箭所受的引力为作的功．其极限mgR就是火箭无限远离地球需于是自然把这一极限写作上限为由机械能守恒定律初速度 至少应使例2圆柱形桶的内壁高为h,内半径为R,桶底有在时间dt内,桶中液面降低的微小量为dx,解桶内水位高度为时,一半径为r的小孔．试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水,共需多少时间？之间应满足流出水的速度为它们因此反常积分的背景于是流完一桶水所需时间形式上为但由于被积函数是上的无界函数,所以它的确切含义为反常积分的背景定义1两类反常积分的定义[a,u]上可积.则称此极限J为函数f在上的无穷限反
3、设函数f定义在[a,+)上,且在任何有限区间常积分(简称无穷积分),两类反常积分的定义若存在极限记作类似定义两类反常积分的定义注1无穷积分(3)的收敛性与收敛时的值与a的选取无关.注2无穷积分(3)是有无穷积分(1)和(2)定义的，因此f在任何有限区间上必须是可积的.定义2设函数f定义在(a,b]上,在a的任意右邻域内无界,如果存在极限则称此极限为无界函数f在(a,b]上的反常积分,记作通常称a为f的瑕点.但在任何内闭区间上有界且可积.其中f在[a,b)有定义,在b的任一左邻域内无界,若f的瑕点,定义在任何上可积.两类反常积分的定义类似定义瑕点为b时的瑕积
4、分例3讨论无穷积分解若f(x)的原函数为F(x),两类反常积分的定义无穷积分的牛顿－莱布尼茨公式写作解例4讨论无穷积分因此两类反常积分的定义例5讨论瑕积分的收敛性.解两类反常积分的定义同样,若f(x)的原函数为F(x),瑕积分的牛顿-莱例6计算瑕积分解的瑕点为0.因此,布尼茨公式写作两类反常积分的定义是否必有上非负连续,是否可推得收敛?上定义,且上非负连续,且收敛,
