数学分析全套配套课件第4版上下册华东师范大学数学系8-3.ppt

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1、一、有理函数的部分分式分解本节给出了求有理函数等有关类型的不定积分的方法与步骤.§3有理函数和可化为有理函数的不定积分数学分析第八章不定积分二、有理真分式的递推公式四、某些无理函数的不定积分三、三角函数有理式的不定积分*点击以上标题可直接前往对应内容有理函数是由两个多项式函数的商所表示的函数,有理函数的部分分式分解m>n时称为真分式,m≤n时称为假分式.假分式可化为一个多项式和一个真分式之和.其一般形式为:后退前进目录退出有理函数的部分分式分解1.对分母Q(x)在实数系内作标准分解:2.根据分母各个因式分别写出与之相应的部分分其分解步骤称为部分分式分解.具体

2、步骤简述如下:真分式又可化为与之和,式.有理函数的部分分式分解把所有部分分式加起来,使之等于Q(x),由此确定对应于的部分分式是上述部分分式中的待定系数Ai,Bi,Ci.有理函数的部分分式分解的部分分式是对应于3.确定待定系数的方法把所有分式通分相加,所得分式的分子与原分子组,由此解出待定系数.必定相等的原则,得到待定系数所满足的线性方程P(x)应该相等.根据两个多项式相等时同次项系数有理函数的部分分式分解有理函数的部分分式分解分式分解.例1作部分比较同次项系数,得到线性方程组解得于是完成了R(x)的部分分式分解:有理函数的部分分式分解任何有理真分式的不定积

3、分都可化为如下两种形有理真分式的递推公式下面解这两类积分.式的不定积分之和：有理真分式的递推公式有理真分式的递推公式有理真分式的递推公式解得有理真分式的递推公式解由例1,例2其中有理真分式的递推公式于是有理真分式的递推公式例3解由于而有理真分式的递推公式由递推公式有理真分式的递推公式于是有理真分式的递推公式sinx,cosx及常数经过有限次四则运算得到的函三角函数有理式的不定积分有理函数的不定积分.把数R(sinx,cosx)称为三角函数有理式.三角函数有理式的不定积分代入原积分式，得到三角函数有理式的不定积分例4解三角函数有理式的不定积分对三角函数有理式的

4、不定积分,在某些条件下还可选用如下三种变换,使不定积分简化.三角函数有理式的不定积分三角函数有理式的不定积分三角函数有理式的不定积分例5解三角函数有理式的不定积分三角函数有理式的不定积分例6解三角函数有理式的不定积分某些无理函数的不定积分某些无理函数的不定积分某些无理函数的不定积分例7解由于某些无理函数的不定积分某些无理函数的不定积分例8求解某些无理函数的不定积分型不定积分时也可直接化为有理函数的不定积分.可用多种方法化为三角函数有理式的不定积分,有某些无理函数的不定积分把它们转化为三角函数有理式的不定积分.方法2(欧拉变换)某些无理函数的不定积分例9解用方

5、法1:某些无理函数的不定积分某些无理函数的不定积分某些无理函数的不定积分因此某些无理函数的不定积分注1对于本题来说,方法2显然比方法1简捷.但实质上只相差某一常数而已.注2由以上两种方法所得的结果,形式虽不相同例10解某些无理函数的不定积分从而有某些无理函数的不定积分注虽然初等函数都是连续函数,都不是初等函数,因此都不可能用我们介绍的方例如原函数,但并非初等函数的原函数都是初等函数.法把它们的原函数求出来.从而它们都存在某些无理函数的不定积分