最小二乘原理在测量工程中的应用.pdf

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1、第1期矿山测量No．12013年2月MINESURVEYINGFeb．2013doi：10．3969／j．1ssn．1001—358X．2013．u1．028最小二乘原理在测量工程中的应用李思清(淮南矿业(集团)有限责任公司，安徽淮南232001)摘要i在测量工程中，只有在有了多余观测的情况下，才会产生平差问题。测量平差和最小二乘法是测量工程中重要的数学模型。文中主要介绍了最小二乘法的原理及其用来进行间接平差的一般方法并将其与工程应用紧密结合起来，评定测量结果的精度，消除测量中的不符值，得出最可靠的测量结果。关键词：最小二乘原理；测量平差；间接平差中图分类

2、号：P207．2文献标识码：B文章编号：1001—358X(2013)01—0082—02最早也最广泛的就是“最小二乘准则”。1最小二乘原理=△P△=min在测量工程中，若只对几何模型中的必要元素在满足最小二乘准则下求得的真误差称为△估进行测定，则在观测值之间不可能产生任何函数关值，用表示，测量工作中习惯上用符号代替厶，因系式，模型中的其他各量可唯一确定，也不存在平差此，最小二乘准则常表示为问题。只有在有了多余观测的情况下，才会产生平击=△P=min差问题。根据最d',-C乘准则可以求得真误差估值，也就例如要确定一个三角形的大小和形状，必要观可以求得观测值

3、的估值，其计算公式为测数为t=3，若实际观测了一条边三个角(／7,=4)，则￡=+存在一个多余观测(r=n—t=1)。现在以任何一边式中：为观测值的改正数；L为观测值的估和其中任意两个角作为一个组合来确定三角形的大值(平差值、最或然值)。小和形状，则有三种组合，由于观测值不可避免的含下面通过一个的简单例子来具体的了解最小二有偶然误差，因此，三种组合所计算的结果将出现微乘原理：小差别，这说明在具有多余观测的情况下，将无法唯设对某量进行了／1,次同精度独立观测，得观一的确定模型的解。测值￡，试按最小二乘准则求该量的估计值。从函数模型来考虑，由于存在一个多余观测

4、，因1×l此在三个内角真值之间存在一个条件方程，即：设该量的估计值为，误差方程为V1=X—L11+三2+3—180。=0=X—L。将L=L+△，代入上式得△1+△2+△3一W=0(1)^其中：W=一(L1+2+3—180。)(2)=X—L称为条件方程的闭合差或常数项，可以根据写成矩阵形式观测值计算出来。由于观测值的真值不知道，因此l真误差△．是未知量。要根据式(1)确定真误差的V=一n×1值，显然其解是不唯一的。要确定满足函数模型的●●●唯一一组解，必须附加一定的约束条件，对于应该采用什么样的约束条件，才能使模型得到一组具有最按最小二乘准则，顾及P=E，得

5、佳性质的解，在测量工作及其他科学工程领域，应用VTPV：VTV：min82第1期李思清：最小二乘原理在测量工程中的应用2013年2月代入具体数值，并将改正数以毫米(mm)为单将上式对取一阶导数，并令其为零，得位，则有l=l一02VTva：：2：2Vr=2∑V；=012=一l+杰2一(一7)dd3=未2—0将Vi=一L代人上式得=未。一2可得B、尸和Z矩阵如下：∑=∑(X—Li)=／7,一∑L=02000解得0100ILl，P：：；：一001O0002昆2最小二乘原理用于解决平差问题(3)由误差万程系数B和目由项l组成法方程BP一BPl=0，得间接平差法是通

6、过选定f个与观测值有一定关8-系的独立未知量作为参数，将每个观测值表达成II这l][X^,r111=。2个参数的函数，建立函数模型，按最小二乘原理，用求自由极值的方法解出参数的最或然值，l0从而ll¨求01得l0解得个观测值的平差值。例：如图1所示的水准网中，A、B、C为已知水准[]=}．77】cmm点，高差观测值及路线长度如下：h=+1．003ITI，h(4)解算法方程，求出参数未，计算参数的平差=+0．501m，h3=+0．503m，h4=+0．505ITI；Sl=值：X。+未，得1km，S2：2km，S3=2km，S4=1km。已知=11．000nl

7、，HB=11．500m，H(：=12．008m，试用间接12．0047]㈩平差法求P及P点的高程平差值。(5)由误差方程计算V，求出观测量平差值左=hl1．0047五2h20．5037+(m)h30．5003图1水准网示意h40．5047(1)按题意知必要观测数=2，选取P、P：两点高程平差值为参数、：，取未知参数的近似值为3结论X=HA+h=12．003(m)，X：=Hc+h3=12．511测量平差和最小二乘法是测量工程中重要的数(1TI)，令2km观测高差为单位权观测值，依据定权学模型。由于采集的数据存在误差，导致了结果不公式有：Pl=1，P2=2，P

8、3=2，P4=1。唯一，而通过最小二乘原理来进行平差则可以评定(2