最小二乘法原理和其在测量工程中应用

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1、最小二乘法原理和其在测量工程中应用　　摘要:在测量工程中，只有在有了多余观测的情况下，才会产生平差问题。测量平差和最小二乘法是测量工程中重要的数学模型。本文主要介绍了最小二乘法的原理及其用来进行间接平差的一般方法和其在测量工程中的应用。关键词：最小二乘原理、测量平差、间接平差中图分类号：O353.5文献标识码：A文章编号：Abstract:Inthesurveyingengineering,adjustmentproblemswillonlybegeneratedinthecasewhichhaver

2、edundantobservations.Measuringadjustmentandleastsquaresmethodarethetwoimportantmathematicalmodelsinthesurveyingengineering.Thispaperhasmainlyintroducedtheleastsquaresmethodanditsgeneralapproachusedfortheindirectadjustmentandthesurveyingengineering.Keywo

3、rds:leastsquaresmethod、measuringadjustment、indirectadjustment1最小二乘法的原理5在测量工程中，若只对几何模型中的必要元素进行测定，则在观测值之间不可能产生任何函数关系式，模型中的其他各量可唯一确定，也不存在平差问题。只有在有了多余观测的情况下，才会产生平差问题。例如要确定一个三角形的大小和形状，必要观测数为，若实际观测了一条边三个角（），则存在一个多余观测（）。现在以任何一边和其中任意两个角作为一个组合来确定三角形的大小和形状，则有三种组合

4、，由于观测值不可避免的含有偶然误差，因此，三种组合所计算的结果将出现微小差别，这说明在具有多余观测的情况下，将无法唯一的确定模型的解。从函数模型来考虑，由于存在一个多余观测，因此在三个内角真值之间存在一个条件方程，即考虑到,代入上式得1-1其中1-25称为条件方程的闭合差或常数项，它是可以根据观测值计算出来的。由于观测值的真值不知道，因此真误差是未知量。要根据式1-1确定真误差的值，显然其解是不唯一的。要确定满足函数模型的唯一一组解，如果不另外附加一定的约束条件，那是不可能的。对于到底应该采用什么样的

5、约束条件，才能使模型得到一组具有最佳性质的解这个问题，在测量工作及其他科学工程领域，应用最早也最广泛的就是所谓的“最小二乘准则”在满足最小二乘准则下求得的真误差称为估值，用表示，测量工作中习惯上用符号代替，因此，最小二乘准则常表示为根据最小二乘准则可以求得真误差估值，也就可以求得观测值的估值，其计算公式为式中——观测值的改正数；——观测值L的估值（平差值、最或然值）。下面通过一个的简单例子来具体的了解最小二乘原理：设对某量进行了次同精度独立观测，得观测值，试按最小二乘准则求该量的估计值。设该量的估计值

6、为，误差方程为写成矩阵形式按最小二乘准则，顾及，得将上式对取一阶导数，并令其为零，得将代入上式得解得2运用最小二乘原理解决平差问题间接平差法是通过选定个与观测值有一定关系的独立未知量作为参数，将每个观测值表达成这个参数的函数，建立函数模型，按最小二乘原理，用求自由极值的方法解出参数的最或然值，从而求得个观测值的平差值。5例：在下图所示的水准网中，A、B、C为已知水准点，高差观测值及路线长度如下:h1=+1.003m,h2=+0.501m,h3=+0.503m,h4=+0.505m;S1=1km,S2=

7、2km,S3=2km,S4=1km。已知HA=11.000m,HB=11.500m,HC=12.008m,试用间接平差法求P1及P2点的高程平差值。(1)按题意知必要观测数，选取两点高程平差值为参数、，取未知参数的近似值为，，令2km观测高差为单位权观测值，依据定权公式有：。(2)根据图形列平差值条件方程式，计算误差方程式如下：代入具体数值，并将改正数以毫米（mm）为单位，则有可得、和矩阵如下：(3)由误差方程系数和自由项组成法方程，得解得(4)解算法方程，求出参数，计算参数的平差值，得(5)由误差方

8、程计算，求出观测量平差值，如下：3结论5测量平差和最小二乘法是测量工程中重要的数学模型。由于采集的数据存在误差,导致了结果不唯一,而通过最小二乘原理来进行平差则可以评定所测数据的精度,消除数据中的不符值,使处理后的数据具有唯一的值,达到最大的可靠性,保证工程顺利进行。本文主要介绍了最小二乘法的原理及其用来进行间接平差的一般方法和其在测量工程中的应用。最小二乘法是处理分析观测数据的一种经典方法。平差原理是根据未知量与观测量的关系,利用最小二乘原理,求出最或