机械振动学习题解答大全.doc

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1、机械振动习题解答（四）·连续系统的振动连续系统振动的公式小结：1自由振动分析杆的拉压、轴的扭转、弦的弯曲振动微分方程(1)此式为一维波动方程。式中，对杆，y为轴向变形，；对轴，y为扭转角，；对弦，y为弯曲挠度，。令，Y(x)为振型函数，代入式(1)得(2)式(2)的解为(3)将式(3)代入边界条件，可得频率方程，并由此求出各阶固有频率ωn，及对应的振型函数Yn(x)。可能的边界条件有(4)类似地，梁的弯曲振动微分方程(5)振型函数满足(6)式(6)的解为(7)梁的弯曲挠度y(x,t)，转角，弯矩，剪力。所以梁的可能的边界条件有(8)2受迫振动杆、轴、弦的受迫振动微分方程

2、分别为(9)下面以弦为例。令，其中振型函数Yn(x)满足式(2)和式(3)。代入式(9)得(10)考虑到式(2)，式(10)可改写为(11)对式(11)两边乘以Ym，再对x沿长度积分，并利用振型函数的正交性，得(12)当简谐激励时，式(12)的稳态响应解为全响应解为当阶跃激励时，式(12)的解为类似地，梁的弯曲振动微分方程(13)令，代入式(13)，经过一系列处理，得(14)---------------------------------------------我是分割线----------------------------------------------解题步

3、骤1自由振动分析①按照式(3)或(7)，写出含待定系数的振型函数；②写出边界条件；③把振型函数代入边界条件，消去待定系数，得到频率方程。2受迫振动分析①写出激励f(x,t)的表达式；②通过以上自由振动分析的步骤得到振型函数Yn(x)；③计算Qn(t)和b，得到式(12)或(14)，求解主坐标φn(t)。---------------------------------------------我是分割线----------------------------------------------8.1求阶梯杆纵向振动的频率方程。解：振型函数：，其中边界条件：①②连续性条件：

4、③④②式代入③式得②式代入④式得所以频率方程即---------------------------------------------我是分割线----------------------------------------------8.2长度为L、惯性矩为Is的轴两端各带有惯性矩为I0圆盘(单位厚度)，求轴和圆盘组成的扭振系统的频率方程，并在Is<

5、p63例3-8，但边界条件不同），这是一个二自由度的扭振系统，用视察法可写出其微分方程为，其中为圆轴的扭转刚度。其特征方程为，可得，。而此时③式左边，右边，所以，即，且，与圆盘扭振系统的频率吻合。---------------------------------------------我是分割线----------------------------------------------8.3长度为L的轴一端固定，另一端自由，扭矩T0sinωt施加于自由端，求轴的稳态响应。设轴截面的抗扭刚度为GIp，密度为ρ。解：设稳态响应为。边界条件：所以①而Q(x)满足，其中②②式代

6、入①式得所以振型函数稳态响应---------------------------------------------我是分割线----------------------------------------------8.4初始状态静止，长度为l、两端固定、张力为T的弦中央受一阶跃力P作用，计算弦在P力作用下的振动位移响应。解：（首先进行自由振动分析。）振型函数，其中①边界条件②①式代入②式得所以振型函数为③（再进行受迫振动分析。）微分方程设响应，其中振型函数。于是所以主坐标φn(t)满足④已知单自由度无阻尼系统受阶跃激励的响应，即方程的解为所以④式的解为系统响应--

7、-------------------------------------------我是分割线----------------------------------------------8.5当集中载荷P以速度v在长度为l的简支梁上移动时，计算梁振动的位移响应。设t=0时梁处在静止状态，且P位于梁左端。解：（首先进行自由振动分析。）振型函数①其中边界条件②①式代入②式得振型函数③（再进行受迫振动分析。）微分方程设响应，其中振型函数。于是所以主坐标φn(t)满足④相当于单自由度系统受简谐激励的响应，所以④式的解为（注：此为包含特解和通解的