数学建模教案10库存.pdf

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1、十、库存策略问题对于经常需要消耗的物质，为了方便，我们会保留一定量的库存，这时面临一种选择：如果库存量较大，那么采购成本（人工费、运输费、手续费等）减小，但库存费用（如库存场地费、人工费、储存容器折旧费等）增加；如果库存量较小，那么采购成本会增加，但库存费用减小。如何设计一个合适的采购计划，使总费用最小。这就是我们今天要研究的问题。例1某个幼儿园平均每个月要消费48千克饼干。已知饼干每千克18.5元；送货的劳务费每次4元；储存费（如保管人员的劳务费、场租费、水电费、冰箱折旧费等）平均每千克每月6元（可按比例分割成更短的时间单位和重量单位计算，如每千克储存半个月3元、储存10天为

2、2元等；又如每500克储存一个月3元、储存10天为1元等）。问一个月进货几次可使费用最省？分析：在这个问题中，先要弄清楚进货次数对于费用的影响，根据题意总费用=购货款＋送货劳务费＋储存费其中购货款4818.5888元与进货次数无关；送货劳务费随着进货次数的增加而增加；储存费随着进货次数的增加而减少。所以需建立“送货劳务费”和“储存费”之和与进货次数的的函数关系。然后再求函数的最小值问题。其中送货劳务费容易得到，而储存费的计算办法是个难点（因为库存量是变化的，一般来说是非连续变化）。解：我们先研究储存费的计算办法。假设储存费按每单位时间每千克c元计算。q如果q千克的货物在一个

3、单位时间里均匀地出库k次，每次出库的货，那k1么，每隔个单位时间，库存量依次为k(k-1)q(k-2)qqq0、、、、、。kkk1c个单位时间内的储存费为每千克元计，可计算得储存费kkc(k-1)qc(k-2)qcqc(k1)qdqc，kkkkkkk2k(k1)q其中就是相应的累计储存量，也是库存量的函数图象与坐标轴所夹部分2k的面积（见图1）。qO1图1当k时，储存量的图像由折线逼近成了直线，它与坐标轴所夹的图形就q成了图1所示的三角形，面积为，于是可知在均匀消费的情况下，累计储存量2qq趋向于，因此可得储存费为dc。22上述的讨论是在一

4、个单位时间里。如果q千克的货物在t个单位时间里均匀地消费完，那么同理可推得储存费qtdc。2我们再回到原问题。4811设每个月进货n次，于是每次进千克，个月消费完。个月中累计储nnn4848144144144存量为，储存费为6。一个月的储存费为n。送货劳22222n2nnnn务费为4n元。于是与进货次数n有关的费用144E4n。n144当4n，即n6时，E有最小值。n由此可得，每个月进6次货（即每5天送8千克饼干）可使费用最省。例2某食品进出口公司根据市场预测可知，明年需进口食糖285吨，其中第一、二、三、四季度的需求量依次是50、70、125、40吨(假

5、设在每个季度中市场需求量是均匀的)。已知该食糖的购入价为1千元/吨，售出价为1.5千元/吨，运输费为0.3千元/吨，每次办理订货进口的手续费0.5千元，进口的食糖在售出之前的库存费按0.04千元/(吨季度)计算。试设计一个合理的进货计划，使费用尽量小。解：设第i季度的进口总量为Qi，进口次数为ni，ｉ＝1，2，3，4。在本题中，与进口次数有关的费用有两项：手续费和库存费。其中手续费为Q0.02Qii0.5n，库存费为0.04。于是建立有关费用与进口次数的函数关系i2nnii0.02QiE0.5n。ini0.02Qi当0.5ni，即ni0.2Qi时，E有最小值。根据各

6、季度不同的进货ni量可得如下结果：进口次数n季度进口量Q精确值讨论值确定值n=1时，E=1.5第一季度502n=1n=2时，E=1.5n=1时，E=1.9第二季度702.8n=2n=2时，E=1.7n=2时，E=2.25第三季度1255n=2n=3时，E=2.33n=1时，E=1.3第四季度401.6n=1n=2时，E=1.4即第一、二、三、四季度的进口次数分别为1、2、2、1。讨论：我们注意到，上述解题过程是在每次进货量相等的假设下，即n次进Q货的量都是。那么要问，在n次进货的量不全相等的情况下，是否会出现费n用更省的情况呢？假设n次进货的量依次是a1，ａ２，ａ３，，ａｎ，

7、且a1＋ａ２＋ａ３＋＋ａｎ＝Ｑ。由于进货的次数n相同，所以等量进货和不等量进货的手续费都是0.5n；又由于储存费单价0.04是确定的，所以储存费用大小只与累计储存量有关。Q在等量进货的情况下，累计储存量为；在不等量进货的情况下，由于是2nai均匀消费，所以消费的速度是个定量，即ai的进货量将在时间内消费完。于Q1a1a1an1222是累计储存量为(a1a1)(a1a2an)。2QQQ2QQa1a2an1Oa1/Qa2/Qan/Q2222由于(a1a2an)a