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1、刘俐7非正弦周期电流电路1本章知识要点:※非正弦周期信号;※周期信号的傅里叶级数展开;※有效值、平均值和平均功率※非正弦周期电流电路中的功率※周期性信号的频谱※低通、高通滤波器27.1非正弦周期信号7.1.1非正弦周期信号我们已经知道,在工程实践中所遇到的大多是非正弦周期性信号,即使是交流电源,也或多或少与正弦波形有些差别。图7-1所示是几种常见的非正弦周期性信号的波形。图7-1非正弦周期信号波形3(7-1)信号非正弦是指信号的函数不能简单地用一个正弦或余弦函数来表示。信号的周期性,是指每隔一个周期时间,信号的函数便重复一次,即函数满足下式的关系:式中k是整数,
2、T是函数的周期。下一节中我们要将这样的信号进行变换处理。7.1.2信号的对称性有一些周期信号,存在特殊的性质。下面介绍几种具有对称性的周期信号,如图7-2所示信号的函数。利用对称性有时可以简化一些计算,因此了解函数的对称性将对后续的分析计算有帮助。4图7-2函数的对称性51.偶函数,纵轴对称若信号波形相对于纵轴是对称的,即满足下式的函数关系:(7-2)则是偶函数。例如函数、以及图7-2(a)所示波形都是偶函数。图7-2函数的对称性(a)偶函数有如下性质:式中k为整数,。(7-3a)(7-3b)(7-3c)6式(7-3a)比较容易理解。对于式(7-3b),由于和都
3、是偶函数,则它们的乘积也是偶函数,再利用式(7-3a)可以得证。对于式(7-3c),由于是奇函数,则乘积是奇函数,利用式(7-5a)可以得证。式(7-3b)和式(7-3c)也可以用图来解释。如图7-3中所示,实线表示偶函数的波形,虚线分别表示和的波形。观察图(a),由于和两个函数都相对于纵轴对称,相乘后的前半周与后半周仍以纵轴对称,相对应的值大小和符号完全相同,也就是它们在一个周期内的积分等于半个周期内积分的2倍。再观察图(b),和相乘后的前半周与后半周相对应的值大小相同、符号相反,也就是它们在一个周期内的积分等于0。图7-3偶函数性质说明72.奇函数,原点对称
4、若信号波形相对于纵轴是反对称的,即满足下式的函数关系:(7-4)图7-2函数的对称性(b)奇函数有如下性质:则是奇函数。例如函数、以及图7-2(b)所示波形都是奇函数。奇函数右半平面的波形绕原点旋转180度后与左半平面的波形重合。(7-5a)(7-5b)(7-5c)8关于奇函数和偶函数,还有其它一些性质,列举如下:(1)两个偶函数的乘积仍是偶函数;(2)两个奇函数的乘积是偶函数;(3)一个奇函数与一个偶函数的乘积是奇函数;(4)两个偶函数的和、差仍是偶函数;(5)两个奇函数的和、差仍是奇函数;(6)一个奇函数与一个偶函数的和、差既不是奇函数又不是偶函数。3.奇谐
5、函数,横轴对称若信号波形的后半周是前半周的上下反转,即满足下式函数关系:(7-6)则是奇谐函数。例如函数、以及图7-2(c)所示波形是奇谐函数。9奇谐函数有几个性质:图7-2函数的对称性(c)(7-7a)k为奇数k为偶数(7-7c)k为奇数k为偶数(7-7b)可以仿造图7-3绘制、、及的图形来解释式(7-7b)和式(7-7c)。10以上介绍的三种波形对称性称为基本对称性,下面再介绍两种组合对称性。观察图7-2所示波形,应注意到:(1)奇谐函数与波形起点位置的选择无关,即将波形平移一段距离,它的性质不变;(2)奇函数或偶函数与波形起点位置有关,如将波形平移一段距离
6、后,它的性质会发生变化。4.奇谐偶函数,纵轴对称同时横轴对称若信号既是偶函数又是奇谐函数,即同时满足下面两个函数关系:(7-8)称是奇谐偶函数。例如函数以及图7-2(d)所示波形是奇谐偶函数。11奇谐偶函数具备偶函数和奇谐函数的综合性质:图7-2函数的对称性(d)(7-9a)k为奇数k为偶数(7-9b)(7-9c)125.奇谐奇函数,原点对称同时横轴对称若信号既是奇函数又是奇谐函数,即同时满足下面两个函数关系:(7-10)称是奇谐奇函数。例如函数以及图7-2(e)所示波形是奇谐奇函数。图7-2函数的对称性(e)奇谐奇函数具备奇函数和奇谐函数的综合性质(7-11a
7、)(7-11b)k为奇数k为偶数(7-11c)137.2周期信号的傅里叶级数展开7.2.1傅里叶分析(1)在一个周期内连续或只存在有限个间断点;由高等数学已知,任意一个周期为T的周期函数,若满足如下的三个充分条件(称为“狄利克雷”条件),则它可以展开成一个收敛的傅里叶级数。(2)在一个周期内只有有限个极大值或极小值;(3)在一个周期内函数绝对可积,即积分为有限值。14该傅里叶级数为:(7-12)(7-13a)式中,傅里叶系数、和按下列公式计算:(7-13b)(7-13c)15根据三角函数公式,式(7-12)中的同频率正弦项和余弦项(方括弧内的两项)可以合并,合并
8、后的傅里叶级数的另一种形
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