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1、第七章向量代数与空间解析几何第一节向量代数第二节空间的平面和直线第三节几种二次曲面和空间曲线简介二、向量的概念三、向量的线性运算一、空间直角坐标系四、向量的坐标表示五、向量的模、方向余弦的坐标表示§1向量代数六、向量的三种乘积运算ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ一、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系.坐标原点坐标轴x轴y轴z轴过空间一定点O,坐标面卦限(八个)zox面1.空间直角坐标系的基本概念Ⅰ在直角坐标系下坐标轴上的点P,Q,R;坐标面上的点A,B,C点M特殊点的坐标:有序数组
2、(称为点M的坐标)原点O(0,0,0);坐标轴:坐标面:表示法:向量的模:向量的大小或长度,二、向量的概念向量:(或矢量).既有大小,又有方向的量称为向量向径(矢径):自由向量:与起点无关的向量.起点为原点的向量.单位向量:模为1的向量,零向量:模为0的向量,有向线段M1M2,或a,规定:零向量与任何向量平行;若向量a与b大小相等,方向相同,则称a与b相等,记作a＝b;若向量a与b方向相同或相反,则称a与b平行,a∥b;与a的模相同,但方向相反的向量称为a的负向量,记作因平行向量可平移到同一直线
3、上,故两向量平行又称两向量共线.若k(≥3)个向量经平移可移到同一平面上,则称此k个向量共面.记作-a;三、向量的线性运算1.向量的加法三角形法则:平行四边形法则:运算规律:交换律结合律三角形法则可推广到多个向量相加.2.向量的减法三角不等式3.向量与数的乘法是一个数,规定:可见与a的乘积是一个新向量,记作总之:运算律:结合律分配律因此例1.设a为非零向量,则(为唯一实数)证:“”.,取＝±且再证数的唯一性.则a∥b设a∥b取正号,反向时取负号,,a,b同向时则b与a同向,设又有b＝
4、a,“”则已知b＝a,b＝0a,b同向a,b反向a∥b四.向量的坐标表示在空间直角坐标系下,设点M则沿三个坐标轴方向的分向量.的坐标为此式称为向量r的坐标分解式,任意向量r可用向径OM表示.设则平行向量对应坐标成比例:例2.已知两点在AB直线上求一点M,使解:设M的坐标为如图所示及实数得即说明:由得定比分点公式:点M为AB的中点,于是得中点公式:五、向量的模、方向余弦的坐标表示式1.向量的模与两点间的距离公式则有由勾股定理得因得两点间的距离公式:对两点与例3.在z轴上求与点等距解:设该点为解
5、得故所求点为及思考:(1)如何求在xoy面上与A,B等距离之点的轨迹方程?(2)如何求在空间与A,B等距离之点的轨迹方程?离的点.提示:(1)设动点为利用得(2)设动点为利用得且2.方向角与方向余弦设有两非零向量任取空间一点O,称=∠AOB(0≤≤)为向量的夹角.类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角.与三坐标轴的夹角,,为其方向角.方向角的余弦称为其方向余弦.记作方向余弦的性质:例4.已知两点和的模、方向余弦和方向角.解:计算向量例5.设点A位于第一卦限,解:已知角依次为求点A的坐标.则
6、因点A在第一卦限,故于是故点A的坐标为向径OA与x轴y轴的夹作业：习题7-1P-153,5,6,7P-16B类2题
