简单的三角恒等变换.doc

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1、简单的三角恒等变换教学目标1．运用三角变换公式进行简单的三角恒等变换．(重点)2．公式的综合运用，根据三角变换特点，设计变换过程．(难点)3．应用半角公式求值时的符号问题．(易混点)[基础·初探]教材整理　半角公式阅读教材P139～P140例2以上内容，完成下列问题．sin＝±_，cos＝±_，tan＝±_，tan＝＝＝，tan＝＝＝.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)cos＝.(　　)第35页共35页(2)存在α∈R，使得cos＝cosα.(　　)(3)对于任意α∈R，sin＝sinα都不成立．(　　)(4)若α

2、是第一象限角，则tan＝.(　　)解：(1)×.只有当－＋2kπ≤≤＋2kπ(k∈Z)，即－π＋4kπ≤α≤π＋4kπ(k∈Z)时，cos＝.(2)√.当cosα＝－＋1时，上式成立，但一般情况下不成立．(3)×.当α＝2kπ(k∈Z)时，上式成立，但一般情况下不成立．(4)√.若α是第一象限角，则是第一、三象限角，此时tan＝成立．【答案】　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√化简求值问题　(1)已知cosθ＝－，且180°<θ<270°，求tan；(2)化简(1－sinα)(1－sinβ)－.(1)①cosθ＝－→ta

3、n＝第35页共35页±→tan的值；②cosθ＝－→tan＝→tan的值．对于(1)的思考要注意符号的选择．(2)灵活运用三角函数公式求解．解：(1)法一：因为180°<θ<270°，所以90°<<135°，即是第二象限的角，所以tan<0，∴tan＝－＝－＝－2.法二：因为180°<θ<270°，即θ是第三象限角，∴sinθ＝－＝－＝－，∴tan＝＝＝－2.(2)原式＝1－(sinα＋sinβ)＋sinαsinβ－＝1－2sincos＋sinαsinβ－第35页共35页＝sinαsinβ＋＝sinαsinβ－sinαsin

4、β＝0.1．解决给值求值问题的方法及思路(1)给值求值问题，其关键是找出已知式与欲求式之间的角、运算及函数的差异，经过适当变换已知式或变换欲求式解题．(2)给值求值的重要思想是建立已知式与欲求式之间的联系，应注意“配角”方法的应用．2．三角函数化简的思路及原则：(1)在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可施行，若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次函数，必须用降幂公式降为一次．(2)根据实际问题选用公式时，应从以下几个方面加以考虑：①运用公式之后能否出现特殊角；②运用公式之后能否进行提取公因式，能否约分，能否合

5、并或消项；③运用公式之后能否使三角函数式结构更加简单，各种关系更加明显，从而为下一步选用公式进行变换创造条件．(3)对于三角函数的和差化积，有时因为使用公式不同，或选择题的思路不同，化积结果可能不一致．第35页共35页[再练一题]1．(1)已知sinα＝，cosα＝，则tan等于(　　)A．2－B．2＋C．－2D．±(－2)(2)化简(－π<α<0).解：(1)因为sinα＝>0，cosα＝>0，所以α的终边落在第一象限，的终边落在第一、三象限．所以tan>0，故tan＝＝＝－2.【答案】　C(2)原式＝第35页共35页＝＝

6、＝.因为－π<α<0，所以－<<0，所以sin<0，所以原式＝＝cosα.三角恒等式的证明　(1)求证：1＋2cos2θ－cos2θ＝2；(2)求证：＝.(1)可由左向右证：先把左边cos2θ降幂化为同角后整理可证．(2)可先从左边表达式分母中升幂缩角入手，再通过改变函数结构向右边转化．解：(1)左边＝1＋2cos2θ－cos2θ＝1＋2×－cos2θ＝2＝右边．所以原等式成立．第35页共35页(2)左边＝＝＝＝＝＝＝右边．所以原等式成立．三角恒等式证明的五种常用方法：(1)执因索果法：证明的形式一般化繁为简．(2)左右归一

7、法：证明左右两边都等于同一个式子．(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同．(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”．(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步探求使等式成立的条件，一直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．[再练一题]2．已知0<α<，0<β<，且3sinβ＝sin(2α＋β)，4tan＝1－tan2，求证：α＋β＝.证明：∵3sinβ＝sin(2α＋β)，第35页共35页即3sin(α＋β－α)＝sin(α＋β＋α)，∴3

8、sin(α＋β)cosα－3cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα，∴2sin(α＋β)cosα＝4cos(α＋β)sinα，∴tan(α＋β)＝2tanα.又∵4tan＝1－tan2，∴tanα＝＝，∴tan(α＋β)＝2tanα＝1，∵α＋β∈，∴