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1、习题一−36−21.1．设：E=Ey=y10cos(2π×10t+2π×10x)V/my00问：矢量E在什么方向？波沿什么方向传播？波的幅度多大？频率f=？相位常数k=？相速vp=？解：1）矢量E在y0方向；2）波沿-x0方向传播；-36−283）波幅为10，频率f=10Hz，相位常数k=2π×10，相速vp=ω/k=10m/s1.2．写出以下时谐变量的复数表示（如果可能的话）−jπ3/(a)V(t)=6sin(ωt+π/6)⇒V=6e=3−j33jπ2/(b)I(t)=–10sinωt⇒I=10e=10jj0−jπ2
2、/(c)A(t)=3cosωt–2sinωt⇒A=3e−2e=3+2j−jπ2/(d)C(t)=10cos(1000πt–π/2)⇒C=10e=−10j(e)D(t)=1–sin(ωt)不存在(f)U(t)=sin(ωt+π/6)cos(ωt+π/3)不存在1.3．由以下复数写出相应的时谐变量jatan()3/4a)C=3+4j=5e⇒C(t)=5cos(ωt+atan(3/4))(b)C=4exp(-j1.8)⇒C(t)=4cos(ωt-1.2)(c)C=3exp(jπ/2)+4exp(j0.8)⇒C(t)=3cos
3、(ωt+π/2)+4cos(ωt+0.8)1.4．写出以下时谐矢量的复矢量表示：(a)V(t)=3cos(ωt)xˆ+4sin(ωt)yˆ+cos(ωt+π/2)zˆ000答：V=3xˆ0−4jyˆ0+jzˆ0(b)E(t)=[3cosωt+4sin(ωt)]xˆ+[8cosω-t4sinωt]zˆ00答：E=-3(4j)xˆ+8(+8j)zˆ00(c)H(t)=5.0cos(kz-ωt)xˆ0答：H=5.0exp(−jkz)xˆ01.5．从下面复矢量写出相应的时谐矢量。（a）C=xˆ−jyˆ00答：C(t)=cosω
4、txˆ+sinωtyˆ00（b）C=j(xˆ−jyˆ)00答：C(t)=−sinωtxˆ+cosωtyˆ00（c）C=exp(−jkz)xˆ+jexp(jkz)yˆ)00答：C(t)=cos(kz−ωt)xˆ−sin(ωt+kz)yˆ001.6．假定A=xˆ+jyˆ+1(+j)2zˆ，B=xˆ−2(+2j)yˆ−jzˆ，求：A⋅B，A×B，000000*A⋅B，Re(A×B*)。答：A⋅B=1−j2(+2j)−j1(+j)2=5−3j⎡xˆ0yˆ0zˆ0⎤⎢⎥A×B=1j1+2j=(-1+6j)xˆ+1(+3j)yˆ−
5、2(+3j)zˆ⎢⎥000⎢⎣1−2(+2j)−j⎥⎦*A⋅B=1−j2(−2j)+j1(+2j)=−3−j⎡xˆ0yˆ0zˆ0⎤*⎢⎥Re(A×B)=1j1+2j=(5+2j)xˆ+1(+j)yˆ−2(−j)zˆ⎢⎥000⎢⎣1−2(−2j)j⎥⎦1.7．计算下列标量场的梯度222222222(1)u=xyz=>∇u=2xyzxˆ+2yxzyˆ+2zyxzˆ222(2)u=2x+y-z=>∇u=4xxˆ+2yyˆ−2zzˆ(3)u=xy+yz+xz=>∇u=(y+z)xˆ+(x+z)yˆ+(x+y)zˆ22(4)u=
6、x+y+2xy=>∇u=(2x+y)xˆ+(2x+y)yˆ(5)u=xyz=>∇u=yzxˆ+xzyˆ+yxzˆ221.8．求曲面z=x+y在点(1,1,2)处的法线方向.22答：令f(x,y,z)=x+y−z,∇f=2xx+2yy−z,因为梯度的方向就是该点的发000现方向，所以在点（1.1.2）处的法线方向为∇f(x=,1y=,1z=)2=2x+2y−z0001.9．求下列矢量场的散度、旋度。222(1)A=xx+yy+zz∇⋅A=2x+2y+2z,∇×A=0000(2)A=()()y+zx+x+zy+(x+y)z
7、∇⋅A=,0∇×A=000022(3)A=()x+yx+(x+y)y∇⋅A=1+2y,∇×A=2(x−)1z0002(4)A=5x+6yzy+xz∇⋅A=6z,∇×A=−6yx−2xy000001.10．求∇⋅A和∇×A2(1)A()ρ,ϕ,z=ρρcosϕ+ϕρsinϕ0011∂(ρAρ)∂Aϕ∂AAz=3(ρ+)1cosϕ∇⋅=++ρρρϕ∂∂∂zρρϕz0001∂∂∂∇×A==2(+ρ)sinϕz0ρ∂ρ∂ϕ∂zAρAAρϕz11(2)A()r,θ,ϕ=rrsinθ+θsinθ+ϕcosθ0002rr2∂(rAr
8、)1⎡⎤∂∂Aϕ2∇⋅A=2+⎢⎥()Aθsinθ+=3sinθ+2cosθ/rrrr∂∂sinθ⎣⎦θϕ∂rrθrsinθϕ0001∂∂∂cos2θcosθ∇×A=2=3r0+3θ0−cosθϕ0rsinθ∂r∂θ∂ϕrsinθrArArsinθArθϕ1.11．求z方向无限长线电流zˆIδ(x)δ(y)激发的恒定磁场H及其旋度
