关于不定积分教学的思考.doc

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1、关于不定积分教学的思考【摘耍】不定积分是高等数学教学中的重要内容，其计算方法灵活多变，技巧性强，是教学的重点和难点•本文针对学生学习不定积分存在的一些问题展开分析讨论，旨在帮助学生更好地掌握各种积分方法.【关键词】不定积分；换元积分；分部积分【中图分类号】G642【文献标识码】A不定积分是微积分学的重要组成部分，在整个微积分中起到承上启下的作用•一方面，不定积分运算与导数运算互为逆运算；另一方面，不定积分的知识和方法是后续定积分学习的基础•在教学中，笔者发现许多学生对这一部分的内容掌握情况欠佳，学习中存在

2、很多困难，以下是关于不定积分教学的几点思考.一、深刻理解不定积分法则不定积分的法则如下：法则1jkf(x)dx二kff(x)dx(k为常数)法则2/[f(x)±g(x)]dx二jf(x)dx±fg(x)dx(可推广到有限项)法则1指被积函数中含有常数时，常数可以直接提到积分符号的外面.但需要注意的是：积分号内部的函数不能提出•讲解这个法则时，学生可能觉得很简单，但在后续课程的学习中，学生往往会不由自主地把函数也提出来•例如，求不定积分nil+4x2dx时，正确解法是:flll+4x2dx二f111+(2x

3、)2dx=112f111+(2x)2d(2x)=112arctan2x+C・有的学生凑微分可能凑的是d(1+4x2),并且发现d(1+4x2)二8xdx,因此把原式写成118x；11l+4x2d(1+4x2)的形式•其实，118x是积分号内部的函数，它根本不能提到积分符号的外面，所以这种解法与不定积分的法则1相违背，是不正确的.法则2指和差的不定积分等丁不定积分的和差，导数运算也具有这样四则运算法则，但不定积分并没有乘除法的运算法则，这也是造成不定积分计算难度大的重要原因•绝对不能把乘积的不定积分写成不定

4、积分的乘积,如计算f2xexdx时,不能写成j2xdx•fexdx.很容易验证它们是不相等的：f2xdx=2xlln2+C,jexdx二ex+C,而2xexlln2z=2xex(ln2+l)lln2,这并不等于2xex•正确做法应该是把被积函数写成(2e)x,然后按照指数函数的积分公式进行计算.对于被积函数为乘积(或商)的形式，尽量化为和差形式后再积分，如果不能化简，可考虑换元积分和分部积分法解决.二、根据被积函数的特征选取合适的积分方法求解不定积分的常用积分方法有直接积分法、第一类换元积分法(凑微分法)

5、、第二类换元积分法、分部积分法等•许多学生对这几种求不定积分的方法都已经掌握，但关键问题在于不知该用哪种方法计算，解题不知从何下手•笔者认为正确的思考顺序应该是:直接积分法1凑微分法1第二类换元积分法/分部积分法.直接积分法是最简单、最基本的积分方法，是直接利用不定积分的公式和法则对被积函数进行积分，部分函数需要先适当变形后再直接积分.如果通过对被积函数的观察分析，确实不能直接积分的，可以考虑凑微分法•能够用凑微分法计算的不定积分，被积函数大多都是乘积(或商)的形式，这也止是积分法则不能解决的积分问题•这

6、些函数的因式之间一般具有某种特殊关系，我们用式子jf[e(x)(x)dx来表示，通过凑©(x)的微分，然后换元解Z.即(x)(x)dx凑微分jfW(x)]d

7、dx,fsinxlxdx,jlll-x2dx.如果不能使用直接积分和凑微分法，被积函数中含有根式的，可使用第二类换元积分法解题，目的是通过换元去掉根式.分部积分法是通过分部积分公式，将积分Judv转化为积分J*vdu,从而降低积分难度•分部积分法大多也是解决被积函数为乘积形式的积分问题，与凑微分的区别在于被积函数各因式之间没有什么关系，相互不能凑微分•但转化为积分Jvdu的过程又与凑微分相似，因此，初学者容易将这两种方法混淆•另外，熟悉使用分部积分法的常见题型，也是掌握这部分内容的关键•女Hfxsinxd

8、x,fxexdx,jxlnxdx,farctanxdx,/excosxdx等都是使用分部积分法的常规类型.三、灵活掌握各积分方法，综合利用它们解决积分问题不定积分的公式是求解各类积分的基础，在解题过程屮会反复使用.所以，要求学生一定要牢牢记住，并熟悉将这些公式中变量X换成其他形式时所使用的公式原型•如积分公式fdx=xK大家可能很熟悉，而积分/dex就觉得陌生了，其实，只需令ex二u,则jdex二jdu二u+C二ex+C,它们