新编高中数学-3.4生活中的优化问题举例学案-新人教A版选修1-1.doc

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1、新编人教版精品教学资料高中数学3.4生活中的优化问题举例学案新人教A版选修1-1►基础梳理1.优化问题．生活中经常遇到的利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．2．利用导数解决优化问题的基本思路．3．利用导数解决优化问题的一般步骤．(1)审题：认真阅读，分析实际问题中各个量之间的关系．(2)建模：实质就是数学化的过程，即把实际问题用数学符号、式子、图形等表示出来，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)．(3)求解：求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0，并比较区间端点和使f′(x)＝0的点的

2、函数值的大小，得出函数的最值．(4)检验：对结果进行验证评估，定性、定量分析，作出判断，确定问题的答案．►自测自评电动自行车的耗电量y与速度x有如下关系：y＝x3－x2－40x(x>0)，为使耗电量最小，则速度应定为40．1.为了保证容积一定的圆柱形金属饮料罐所用的材料最省，则它的高与其底面半径之比是(D)　　　　　　　　　　　　　A．1∶2B．1∶1C．3∶1　　　D．2∶1解析：设圆柱的底面半径为r，高为h，则V＝πr2h(V是定值)，即h＝，因此，所使用材料总面积为S＝2πr2＋2πrh＝2，则S′＝2，由S′＝0，得

3、2πr3＝V，可以证明此时的r能使S最小．进而得到h＝2r.点评：本题是含字母的运算，对计算能力要求较高，注意运用整体思想和设而不求．2．某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x(0≤x≤390)的关系是R(x)＝－＋400x，(0≤x≤390)当x＞390时，R(x)＝90090，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是(D)A．150B．200C．250D．300解析：∵总利润P(x)＝由P′(x)＝0，得x＝300，故选D.3．某养鸡场是一面靠墙，三面用铁丝

4、网围成的矩形场地．如果铁丝网长40m，那么围成的场地面积最大为________．解析：设靠墙的一面长xm，围成的场地面积为ym2，此时矩形的宽为＞0.∴y＝x·＝－x2＋20x.(0＜x＜40)y′＝－x＋20，令y′＝0得x＝20，当0＜x＜20时，y′＞0.当20＜x＜40时，y′＜0.∴x＝20时，y最大＝20×10＝200.答案：200m24．某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x、y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形．要求框架围成的总面积为8m2.问x、y分别为多少时用料最省(精确到0.00

5、1m)?解析：由题意，得xy＋x2＝8，∴y＝＝－(0＜x＜4)．于是，框架用料总长度为l＝2x＋2y＋2·＝x＋.求导得，l′＝－，由l′＝0.得x＝8－4.可以证明，当x＝8－4时，用料最省．此时，x＝8－4≈2.344，y＝2≈2.828.故当x为2.344m，y为2.828m时，用料最省．点评：本题也可以用基本不等式求解，但计算量较大．1．用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，焊成一个正四棱形柱容器，则当所做的容器的体积最大时，被截去的小正方形的边长是

6、(B)A．6cmB．8cmC．10cmD．12cm解析：设小正方形的边长为x(0＜x＜24)，则容器的容积为V＝x(48－2x)2.根据导数，不难得出，当x＝8时，V最大．故选B.2．曲线C：y＝4－x2(x＞0)上的点与点P(0，2)的最短距离是(C)A.B.C.D.解析：设Q(x，4－x2)(x＞0)是曲线C上任意一点，则PQ的距离为

7、PQ

8、＝＝，令f(x)＝x4－3x2＋4(x＞0)，根据导数可求得，当x＝时，f(x)min＝，从而

9、PQ

10、min＝.3．某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车

11、营运的总利润y(万元)与营运年数x(x∈N*)满足y＝－x2＋12x－25，则每辆客车营运多少年使其营运年平均利润最大(C)A．3B．4C．5D．6解析：∵总利润y(万元)与营运年数x之间的关系为y＝－x2＋12x－25，∵平均利润＝－x－＋12＝－＋12，′＝－1，令－1＝0，解得x＝5.故选C.4．要做一个母线长为20cm的圆锥形漏斗，使其体积最大，则它的高等于(D)A.cmB.cmC.cmD.cm解析：设圆锥的高为h(0＜h＜20)，则底面半径为，它的体积为V＝πh(202－h2)，于是V′＝π(202－3h2)，令V

12、′＝π(202－3h2)＝0，得h＝.可以证明，当圆锥的高为cm时，其体积最大．5．如右图，在半径为r的圆O的一侧作一内接梯形ABCD，使其下底为圆的直径，其他三边为圆的弦．当梯形的面积最大时，梯形的上底长为(D)A.rB.rC.rD．r解析：如题图，设∠AOD＝x，则∠BOC＝x，∠CO